Stepeni imaginarne jedinice: (1 + i) na 100

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\frac{(1+i)^{100}}{(1-i)^{96}-i(1+i)^{98}}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za deljenje stepena: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

\frac{-2^{2}}3 \\ -\frac43

Primeniti formulu za stepen stepena: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

\frac{((1+i)^2)^{50}}{((1-i)^2)^{48}-i((1+i)^2)^{49}} \\ \frac{(1+2i+i^2)^{50}}{(1-2i+i^2)^{48}-i(1+2i+i^2)^{49}}

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac{(1+2i-1)^{50}}{(1-2i-1)^{48}-i(1+2i-1)^{49}} \\ \frac{(2i)^{50}}{(-2i)^{48}-i(2i)^{49}}

Ako negativna baza ima pozitivan eksponent, baza postaje pozitivna.

\frac{(2i)^{50}}{(2i)^{48}-i(2i)^{49}}

Primeniti osnovnu osobinu stepena: $(ab)^n=a^n\cdot b^n$

\frac{2^{50}\cdot i^{50}}{2^{48}\cdot i^{48}-i\cdot2^{49}\cdot i^{49}}

Ako je $n$ deljivo sa $4,$ tada važi za $i^n=1.$

\frac{2^{50}\cdot i^{50}}{2^{48}\cdot1-2^{49}\cdot i^{50}}

Ako je $m$ deljivo sa $2$ ali ne i sa $4,$ tada važi za $i^m=-1.$

\frac{2^{50}\cdot (-1)}{2^{48}-2^{49}\cdot (-1)} \\ \frac{-2^{50}}{2^{48}+2^{49}}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\frac{-2^{50}}{2^{48}(1+2)}

$\frac{(1+i)^{100}}{(1-i)^{96}-i(1+i)^{98}}$