Dokaz: (1 + i) na 1000 kroz (1 − i) na 500

TEKST ZADATKA

Dokazati:

\frac{(1+i)^{1000}} {(1-i)^{500}}=-2^{250}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za stepen stepena: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

\frac{((1+i)^2)^{500}} {((1-i)^2)^{250}}=-2^{250} \\ \frac{(1+2i+i^2)^{500}} {(1-2i+i^2)^{250}}=-2^{250}

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac{(1+2i-1)^{500}} {(1-2i-1)^{250}}=-2^{250} \\ \frac{(2i)^{500}} {(-2i)^{250}}=-2^{250}

Primeniti osnovnu osobinu stepena: $(ab)^n=a^n\cdot b^n$

\frac{2^{500}\cdot i^{500}} {(-2)^{250}\cdot i^{250}}=-2^{250}

Ako negativna baza ima pozitivan eksponent, baza postaje pozitivna.

\frac{2^{500}\cdot i^{500}} {2^{250}\cdot i^{250}}=-2^{250}

Ako je $n$ deljivo sa $4,$ tada važi za $i^n=1.$

\frac{2^{500}\cdot 1} {2^{250}\cdot i^{250}}=-2^{250}

Ako je $m$ deljivo sa $2$ ali ne i sa $4,$ tada važi za $i^m=-1.$

\frac{2^{500}\cdot 1} {2^{250}\cdot (-1)}=-2^{250}

Primeniti formulu za deljenje stepena: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

-2^{500-250}=-2^{250} \\ -2^{250}=-2^{250}

$\frac{(1+i)^{1000}} {(1-i)^{500}}=-2^{250}$