6231. Uvod u kombinatoriku

Neka skup ima $n$ tačaka. Svake dve tačke određuju tačno jednu pravu. Pošto nikoje tri tačke nisu kolinearne, na jednoj takvoj pravoj leže tačno dve tačke skupa, pa različiti parovi tačaka daju različite prave. Broj pravih je zato jednak broju neuređenih parova tačaka.

Pravilo proizvoda: $|A_1\times A_2\times\cdots\times A_n|=|A_1|\cdot|A_2|\cdots|A_n| .$ Elementi Dekartovog proizvoda su uređene $n$ -torke $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ sa $a_i\in A_i .$ Praktično: kada objekat biramo u nekoliko koraka, a broj mogućnosti u svakom koraku ne zavisi od toga šta smo ranije izabrali, ukupan broj objekata je proizvod brojeva mogućnosti po koracima. Prvu tačku para biramo na $n ,$ a drugu na $n-1$ načina; svaki par je tako prebrojan dva puta, pa je broj pravih:

\frac{n(n-1)}{2}

Uslov zadatka je da pravih ima dva puta više nego tačaka:

\frac{n(n-1)}{2}=2n\quad\Longrightarrow\quad n(n-1)=4n\quad\Longrightarrow\quad n(n-5)=0

Rešenja su $n=0$ i $n=5 .$ Skup bez ijedne tačke ne određuje nijednu pravu i nema smisla u zadatku, pa je $n=5 .$ Provera: $5$ tačaka određuje $\frac{5\cdot4}{2}=10=2\cdot5$ pravih.

Dakle, skup sadrži $5$ tačaka.

Započni učenje

Privatni časovi

412

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci