Trigonometrijski limes sa razlikom kosinusa i sinusom

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {\cos{ax}-\cos{bx}} {\sin^2{x}}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju razlike kosinusa: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {ax+bx} 2}\sin{\frac {ax-bx} 2}} {\sin^2{x}}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade u sinusu:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(a-b)} 2}} {\sin^2{x}}

Uvesti minus ispred izraza u brojiocu u sinus kako bi se zamenio redosled konstanti:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\sin^2{x}}

Raščlaniti izraz:

2\lim_{{x} \to {0}} {\sin{\frac {x(a+b)} 2}}* \lim_{{x} \to {0}}{\sin{\frac {x(b-a)} 2}}*\lim_{{x} \to {0}}{\frac 1 {\sin^2{x}}}

Dodati razlomke iz sinusa u odgovarajući imenilac, kako bi se mogao primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1.$ Da bi izraz ostao nepromenjen, dodati iste vrednosti u brojilac.

2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2}}* \lim_{{x} \to {0}}{\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2}}*\lim_{{x} \to {0}}{\frac {\frac {x(a+b)} 2*\frac {x(b-a)} 2} {\sin^2{x}}}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

2*1* 1*\lim_{{x} \to {0}}{\frac {\frac {x(a+b)} 2*\frac {x(b-a)} 2} {\sin^2{x}}}

Raščlaniti izraz:

2\lim_{{x} \to {0}}{\frac {\frac {x(a+b)} 2} {\sin{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {{\frac{\frac {x(b-a)} 2} {\sin{x}}}}

Osloboditi se dvojnog razlomka:

2\lim_{{x} \to {0}}{\frac { {x(a+b)}} {2\sin{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {{\frac{{x(b-a)}} {2\sin{x}}}}

Izvući konstante ispred limesa:

2*\frac {a+b} 2*\frac {b-a} 2*\lim_{{x} \to {0}} {\frac x {\sin{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac x {\sin{x}}}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

2*\frac {b^2-a^2} 4*1*1=\frac {b^2-a^2} 2

Započni učenje

Online časovi

3. Trigonometrijski limes

Beleške