Trigonometrijski limes: razlika kosinusa kroz x kvadrat

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {\cos{ax}-\cos{bx}} {x^2}

REŠENJE ZADATKA

Prvo pokušati zameniti $x=0$ i konstatovati neodređenost $\frac{0}{0}.$

\frac {1-1} 0=\frac 0 0

Primeniti formulu za transformaciju razlike kosinusa: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {ax+bx} 2}\sin{\frac {ax-bx} 2}} {x^2}

Izvući zajednički činilac ispred zagrade u sinusu:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {-2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(a-b)} 2}} {x^2}

Uvesti minus ispred izraza u brojiocu u sinus kako bi se zamenio redosled konstanti:

\lim_{{x} \to {0}} \frac {2\sin{\frac {x(a+b)} 2}\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {x^2}

Raščlaniti izraz:

2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} x}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} x}

Dodati razlomak iz sinusa u imenilac, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2 *\frac 2 {x(a+b)}*x}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2*\frac 2 {x(b-a)}*x}}

Srediti imenioce:

2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2 *\frac 2 {\cancel{x}(a+b)}*\cancel{x}}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2*\frac 2 {\cancel{x}(b-a)}*\cancel{x}}} =2\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2 *\frac 2 {a+b}}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2*\frac 2 {b-a}}}

Izvući konstante ispred limesa:

2*\frac {a+b} 2*\frac {b-a} 2*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(a+b)} 2}} {\frac {x(a+b)} 2}}*\lim_{{x} \to {0}} {\frac {\sin{\frac {x(b-a)} 2}} {\frac {x(b-a)} 2}}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

2*\frac {a+b} 2*\frac {b-a} 2*1*1

Pomnožiti izraze:

2*\frac {b^2-a^2} 4=\frac {b^2-a^2} 2

2. Trigonometrijski limes