Trigonometrijski limes: 2x kvadrat kroz cos 8x − cos 2x

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}}\frac{2x^2}{\cos8x-\cos2x}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za razliku kosinusa: $\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{2x^2}{-2\sin\frac{8x+2x}2\sin\frac{8x-2x}2} \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{x^2}{-\sin5x\sin3x}

Raščlaniti izraz.

-\lim_{{x} \to {0}}\frac{x}{\sin5x}\cdot\lim_{{x} \to {0}}\frac x{\sin3x}

Preoblikovati izraz pod limesom radi lakše primene tabličnog limesa.

-\lim_{{x} \to {0}}\frac1{\frac{\sin5x}x}\cdot\lim_{{x} \to {0}}\frac 1{\frac{\sin3x}x}

Pomnožiti imenilac sa $\frac 55,$ odnosno sa $\frac 33.$

-\lim_{{x} \to {0}}\frac1{\frac{\sin5x}x\cdot\frac55}\cdot\lim_{{x} \to {0}}\frac 1{\frac{\sin3x}x\cdot\frac33} \\ -\lim_{{x} \to {0}}\frac1{\frac{\sin5x}{5x}\cdot5}\cdot\lim_{{x} \to {0}}\frac 1{\frac{\sin3x}{3x}\cdot3}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

-\frac15\cdot\frac13 \\ -\frac1{15}

$\lim_{{x} \to {0}}\frac{2x^2}{\cos8x-\cos2x}$