2893. Trigonometrijske jednačine

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine:

\cos 2x + \cos 8x - \cos 6x - 1 = 0

Grupišemo članove kako bismo primenili trigonometrijske identitete:

(\cos 2x - 1) + (\cos 8x - \cos 6x) = 0

Koristimo identitet $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ i transformaciju razlike kosinusa u proizvod $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} :$

\begin{aligned} \cos 2x - 1 &= -2\sin^2 x \\ \cos 8x - \cos 6x &= -2\sin\left(\frac{8x+6x}{2}\right)\sin\left(\frac{8x-6x}{2}\right) = -2\sin 7x \sin x \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u jednačinu:

-2\sin^2 x - 2\sin 7x \sin x = 0

Delimo jednačinu sa $-2$ i izvlačimo zajednički faktor $\sin x$ ispred zagrade:

\sin x (\sin x + \sin 7x) = 0

Primenjujemo formulu za zbir sinusa $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ na izraz u zagradi:

\sin 7x + \sin x = 2\sin\left(\frac{7x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{7x-x}{2}\right) = 2\sin 4x \cos 3x

Zamenjujemo ovo u jednačinu, čime dobijamo proizvod koji je jednak nuli:

2\sin x \sin 4x \cos 3x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Rešavamo svaki slučaj posebno.

\sin x = 0 \quad \lor \quad \sin 4x = 0 \quad \lor \quad \cos 3x = 0

Prvi slučaj: $\sin x = 0 .$ Za zadati interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ,$ jedino rešenje je za $k = 0 .$

x = k\pi \implies x = 0

Drugi slučaj: $\sin 4x = 0 .$ Tražimo rešenja u intervalu $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ za celobrojne vrednosti $k .$

4x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{4} \implies x \in \left\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right\}

Treći slučaj: $\cos 3x = 0 .$ Tražimo rešenja u intervalu $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ za celobrojne vrednosti $k .$

3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \implies x \in \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right\}

Konačan skup rešenja dobijamo unijom svih pronađenih rešenja koja pripadaju zadatom intervalu:

x \in \left\{ 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right\}

946