Jednačina 1 minus 2 kvadrat sinusa 8x jednako sin 4x

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$ da bismo transformisali levu stranu jednačine:

\cos 16x = \sin 4x

Izrazimo sinus preko kosinusa koristeći vezu $\sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) :$

\cos 16x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)

Jednačina oblika $\cos \alpha = \cos \beta$ ima rešenja $\alpha = \beta + 2k\pi$ i $\alpha = -\beta + 2m\pi ,$ gde su $k, m \in \mathbb{Z} .$ Primenjujemo ovo na našu jednačinu:

16x = \frac{\pi}{2} - 4x + 2k\pi \quad \lor \quad 16x = -\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) + 2m\pi

Rešavamo prvu jednačinu:

16x + 4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Sređujemo i izražavamo $x :$

20x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

16x = -\frac{\pi}{2} + 4x + 2m\pi

Sređujemo i izražavamo $x :$

12x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi \implies x = -\frac{\pi}{24} + \frac{m\pi}{6}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine:

x \in \left\{ \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{24} + \frac{m\pi}{6} \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

Započni učenje

Online časovi

948

Beleške