2823. Trigonometrijske jednačine

Prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine kako bismo je pripremili za grupisanje.

\sin x + \cos x - 1 - \sin x \cos x = 0

Grupišemo članove na sledeći način:

(\sin x - \sin x \cos x) - (1 - \cos x) = 0

Iz prve zagrade izdvajamo zajednički činilac $\sin x .$

\sin x (1 - \cos x) - (1 - \cos x) = 0

Sada izdvajamo zajednički izraz $1 - \cos x$ ispred zagrade.

(1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0

Proizvod dva izraza je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od njih jednak nuli. Dobijamo dve osnovne trigonometrijske jednačine.

1 - \cos x = 0 \quad \lor \quad \sin x - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

\cos x = 1

Rešenje prve jednačine je:

x = 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

\sin x = 1

Rešenje druge jednačine je:

x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje predstavlja uniju rešenja obe jednačine.

x \in \{ 2k\pi \mid k \in \mathbf{Z} \} \cup \left\{ \frac{\pi}{2} + 2m\pi \mid m \in \mathbf{Z} \right\}

890