2826. Trigonometrijske jednačine

Primenom osobina trigonometrijskih funkcija, uprošćavamo prvi sabirak:

\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos x

Zatim uprošćavamo drugi sabirak:

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

-\cos x - \cos x = -\sqrt{2}

Sređujemo levu stranu jednačine:

-2\cos x = -\sqrt{2}

Delimo jednačinu sa $-2$ kako bismo izrazili $\cos x :$

\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Opšte rešenje za $\cos x = a$ je $x = \pm \arccos a + 2k\pi :$

x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Pošto je $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} ,$ konačno rešenje je:

x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

889