Jednačina cos 3x plus cos 5x jednako nuli

Koristimo transformaciju zbira kosinusa u proizvod prema formuli $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} .$

\cos 3x + \cos 5x = 2 \cos \frac{3x + 5x}{2} \cos \frac{3x - 5x}{2}

Sređujemo izraze u argumentima kosinusa.

2 \cos 4x \cos(-x) = 0

Kako je kosinus parna funkcija, važi $\cos(-x) = \cos x ,$ pa jednačina postaje:

2 \cos 4x \cos x = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Deljenjem sa 2 dobijamo dva slučaja:

\cos 4x = 0 \quad \lor \quad \cos x = 0

Rešavamo prvu jednačinu $\cos 4x = 0 .$ Prema opštoj formuli $4x = \pm \arccos 0 + 2\pi k ,$ gde je $k \in \mathbf{Z} .$

4x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi k

Delimo jednačinu sa 4 kako bismo izrazili $x .$

x = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu $\cos x = 0 .$ Prema opštoj formuli $x = \pm \arccos 0 + 2\pi m ,$ gde je $m \in \mathbf{Z} .$

x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi m

Ovo rešenje se može kraće zapisati objedinjavanjem pozitivnog i negativnog slučaja.

x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja obe jednačine.

x \in \left\{ \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi m \right\}, \quad k, m \in \mathbf{Z}

Započni učenje

Online časovi

888

Beleške