3956. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Rastaviti na činioce sledeći polinom: $81x^4 + 162x^3y + 108x^2y^2 + 24xy^3 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo uočavamo da svi članovi polinoma imaju zajednički činilac. Najveći zajednički delilac za koeficijente 81, 162, 108 i 24 je broj 3, a zajednička promenljiva sa najmanjim stepenom je $x .$ Izvlačimo $3x$ ispred zagrade:

81x^4 + 162x^3y + 108x^2y^2 + 24xy^3 = 3x(27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3)

Sada analiziramo izraz unutar zagrade: $27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3 .$ Primećujemo da on podseća na formulu za kub zbira: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 .$

Identifikujemo članove $a$ i $b .$ Prvi član je $27x^3 = (3x)^3 ,$ pa je $a = 3x .$ Poslednji član je $8y^3 = (2y)^3 ,$ pa je $b = 2y .$ Proveravamo srednje članove:

3a^2b = 3 \cdot (3x)^2 \cdot (2y) = 3 \cdot 9x^2 \cdot 2y = 54x^2y \\ 3ab^2 = 3 \cdot (3x) \cdot (2y)^2 = 3 \cdot 3x \cdot 4y^2 = 36xy^2

Pošto se srednji članovi potpuno poklapaju sa našim izrazom, možemo primeniti formulu za kub zbira:

27x^3 + 54x^2y + 36xy^2 + 8y^3 = (3x + 2y)^3

Konačno, spajamo sve delove u jedan izraz:

81x^4 + 162x^3y + 108x^2y^2 + 24xy^3 = 3x(3x + 2y)^3

597.b