3959. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Rastaviti na činioce sledeći polinom: $16y^4 + 72y^3a + 108y^2a^2 + 54a^3y .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo uočavamo zajednički činilac za sve članove polinoma. Svaki koeficijent je deljiv sa $2 ,$ a svaki član sadrži promenljivu $y .$ Izvući ćemo $2y$ ispred zagrade.

16y^4 + 72y^3a + 108y^2a^2 + 54a^3y = 2y(8y^3 + 36y^2a + 54ya^2 + 27a^3)

Sada analiziramo izraz unutar zagrade: $8y^3 + 36y^2a + 54ya^2 + 27a^3 .$ Primećujemo da on odgovara formuli za kub zbira: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 .$

Identifikujemo članove $A$ i $B .$ Prvi član je $8y^3 = (2y)^3 ,$ a poslednji član je $27a^3 = (3a)^3 .$ Dakle, pretpostavljamo da je $A = 2y$ i $B = 3a .$

A^3 = 8y^3 \implies A = 2y \\ B^3 = 27a^3 \implies B = 3a

Proveravamo srednje članove formule $3A^2B$ i $3AB^2$ sa našim vrednostima.

3A^2B = 3 \cdot (2y)^2 \cdot (3a) = 3 \cdot 4y^2 \cdot 3a = 36y^2a \\ 3AB^2 = 3 \cdot (2y) \cdot (3a)^2 = 3 \cdot 2y \cdot 9a^2 = 54ya^2

Pošto se srednji članovi poklapaju sa polaznim izrazom, možemo zapisati zagradu kao kub zbira.

8y^3 + 36y^2a + 54ya^2 + 27a^3 = (2y + 3a)^3

Konačno, spajamo sve delove u krajnji rezultat.

16y^4 + 72y^3a + 108y^2a^2 + 54a^3y = 2y(2y + 3a)^3

597.a