3954. Transformacije celih algebarskih racionalnih izraza

TEKST ZADATKA

Rastaviti na činioce polinom: $54y^4 - 108y^3a + 72y^2a^2 - 16ya^3 .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo uočavamo da svi članovi polinoma imaju zajednički faktor. Najveći zajednički delilac za koeficijente 54, 108, 72 i 16 je 2, a zajednička promenljiva sa najmanjim stepenom je $y .$ Izvlačimo $2y$ ispred zagrade:

2y(27y^3 - 54y^2a + 36ya^2 - 8a^3)

Sada analiziramo izraz unutar zagrade: $27y^3 - 54y^2a + 36ya^2 - 8a^3 .$ Primećujemo da on podseća na razvoj formule za kub razlike $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 .$

Identifikujemo članove $A$ i $B .$ Prvi član je $27y^3 = (3y)^3 ,$ pa je $A = 3y .$ Poslednji član je $8a^3 = (2a)^3 ,$ pa je $B = 2a .$

A = 3y, \quad B = 2a

Proveravamo srednje članove formule:

-3A^2B = -3 \cdot (3y)^2 \cdot (2a) = -3 \cdot 9y^2 \cdot 2a = -54y^2a \\ 3AB^2 = 3 \cdot (3y) \cdot (2a)^2 = 3 \cdot 3y \cdot 4a^2 = 36ya^2

Pošto se srednji članovi potpuno poklapaju sa našim izrazom, možemo zapisati zagradu kao kub razlike:

27y^3 - 54y^2a + 36ya^2 - 8a^3 = (3y - 2a)^3

Konačan rastavljen oblik polinoma je:

54y^4 - 108y^3a + 72y^2a^2 - 16ya^3 = 2y(3y - 2a)^3

597.g