Dokaz identiteta: razlomak jednak ctg(π/4 − β)

Da bismo transformisali zbir u proizvod, prvo ćemo prevesti funkcije $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$ u odgovarajuće kofunkcije koristeći osobine komplementarnih uglova.

\begin{aligned} \sin \alpha &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \\ \cos \alpha &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u početni izraz na levoj strani jednakosti.

\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(2\beta - \alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(2\beta - \alpha)}

Primenjujemo formule za transformaciju zbira kosinusa i razlike sinusa u proizvod.

\begin{aligned} \cos x + \cos y &= 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\ \sin x - \sin y &= 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \end{aligned}

Računamo brojilac primenom formule za zbir kosinusa.

\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(2\beta - \alpha) = 2 \cos \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\beta - \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha - (2\beta - \alpha)}{2}

Sređujemo argumente u brojiocu.

2 \cos \frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)

Računamo imenilac primenom formule za razliku sinusa.

\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \sin(2\beta - \alpha) = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha - (2\beta - \alpha)}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\beta - \alpha}{2}

Sređujemo argumente u imeniocu.

2 \sin \frac{\frac{\pi}{2} - 2\beta}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha + 2\beta}{2} = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right)

Vraćamo dobijene izraze u razlomak.

\frac{2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}{2 \sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right)}

Skraćujemo zajedničke faktore $2$ i $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha + \beta\right) .$

\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)}

Primenjujemo definiciju kotangensa $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ čime dobijamo desnu stranu i dokazujemo identitet.

\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right)

Započni učenje

Online časovi

788

Beleške