2690.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: sin⁡3αcos⁡3α+sin⁡3αcos⁡3α=34sin⁡4α \sin 3\alpha \cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha \cos 3\alpha = \frac{3}{4} \sin 4\alpha

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Zapisujemo je tako da izdvojimo proizvode sin⁡3αcos⁡α \sin 3\alpha \cos \alpha i cos⁡3αsin⁡α. \cos 3\alpha \sin \alpha .

sin⁡3αcos⁡3α+sin⁡3αcos⁡3α=(sin⁡3αcos⁡α)cos⁡2α+(cos⁡3αsin⁡α)sin⁡2α\sin 3\alpha \cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha \cos 3\alpha = (\sin 3\alpha \cos \alpha)\cos^2 \alpha + (\cos 3\alpha \sin \alpha)\sin^2 \alpha

Primenjujemo transformaciju proizvoda u zbir za sin⁡3αcos⁡α. \sin 3\alpha \cos \alpha .

sin⁡3αcos⁡α=12(sin⁡(3α+α)+sin⁡(3α−α))=12(sin⁡4α+sin⁡2α)\sin 3\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha + \alpha) + \sin(3\alpha - \alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 4\alpha + \sin 2\alpha)

Primenjujemo transformaciju proizvoda u zbir za cos⁡3αsin⁡α. \cos 3\alpha \sin \alpha .

cos⁡3αsin⁡α=12(sin⁡(3α+α)−sin⁡(3α−α))=12(sin⁡4α−sin⁡2α)\cos 3\alpha \sin \alpha = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha + \alpha) - \sin(3\alpha - \alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 4\alpha - \sin 2\alpha)

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni izraz.

12(sin⁡4α+sin⁡2α)cos⁡2α+12(sin⁡4α−sin⁡2α)sin⁡2α\frac{1}{2}(\sin 4\alpha + \sin 2\alpha)\cos^2 \alpha + \frac{1}{2}(\sin 4\alpha - \sin 2\alpha)\sin^2 \alpha

Oslobađamo se zagrada množenjem.

12sin⁡4αcos⁡2α+12sin⁡2αcos⁡2α+12sin⁡4αsin⁡2α−12sin⁡2αsin⁡2α\frac{1}{2}\sin 4\alpha \cos^2 \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \cos^2 \alpha + \frac{1}{2}\sin 4\alpha \sin^2 \alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha \sin^2 \alpha

Izvlačimo zajedničke faktore grupisanjem članova uz sin⁡4α \sin 4\alpha i članova uz sin⁡2α. \sin 2\alpha .

12sin⁡4α(cos⁡2α+sin⁡2α)+12sin⁡2α(cos⁡2α−sin⁡2α)\frac{1}{2}\sin 4\alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \frac{1}{2}\sin 2\alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet cos⁡2α+sin⁡2α=1 \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 i formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2α−sin⁡2α=cos⁡2α. \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha .

12sin⁡4α⋅1+12sin⁡2αcos⁡2α\frac{1}{2}\sin 4\alpha \cdot 1 + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \cos 2\alpha

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na izraz sin⁡2αcos⁡2α, \sin 2\alpha \cos 2\alpha , koristeći vezu sin⁡2αcos⁡2α=12sin⁡4α. \sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}\sin 4\alpha .

12sin⁡4α+12(12sin⁡4α)\frac{1}{2}\sin 4\alpha + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin 4\alpha \right)

Sabiramo članove kako bismo dobili desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

12sin⁡4α+14sin⁡4α=34sin⁡4α\frac{1}{2}\sin 4\alpha + \frac{1}{4}\sin 4\alpha = \frac{3}{4}\sin 4\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti