2673.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformiši sledeći izraz u proizvod:

3−tg α\sqrt{3} - \text{tg } \alpha
REŠENJE ZADATKA

Znamo da je 3 \sqrt{3} vrednost tangensa ugla od π3, \frac{\pi}{3} , pa izraz možemo zapisati kao:

tg π3−tg α\text{tg } \frac{\pi}{3} - \text{tg } \alpha

Izražavamo tangens preko sinusa i kosinusa koristeći identitet tg x=sin⁡xcos⁡x: \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} :

sin⁡π3cos⁡π3−sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac:

sin⁡π3cos⁡α−cos⁡π3sin⁡αcos⁡π3cos⁡α\frac{\sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{3} \sin \alpha}{\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha}

Koristimo formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: sin⁡xcos⁡y=12(sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)). \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) . Primenjujemo je na oba sabirka u brojiocu:

12(sin⁡(π3+α)+sin⁡(π3−α))−12(sin⁡(α+π3)+sin⁡(α−π3))cos⁡π3cos⁡α\frac{\frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right) - \frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)\right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha}

Koristimo svojstvo neparnosti sinusa, sin⁡(−x)=−sin⁡x, \sin(-x) = -\sin x , pa je sin⁡(α−π3)=−sin⁡(π3−α): \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) :

12(sin⁡(π3+α)+sin⁡(π3−α))−12(sin⁡(π3+α)−sin⁡(π3−α))cos⁡π3cos⁡α\frac{\frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right) - \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha}

Oslobađamo se zagrada u brojiocu:

12sin⁡(π3+α)+12sin⁡(π3−α)−12sin⁡(π3+α)+12sin⁡(π3−α)cos⁡π3cos⁡α\frac{\frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha}

Nakon skraćivanja suprotnih članova u brojiocu, dobijamo:

sin⁡(π3−α)cos⁡π3cos⁡α\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha}

Zamenjujemo poznatu vrednost za cos⁡π3=12: \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} :

sin⁡(π3−α)12cos⁡α\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\frac{1}{2} \cos \alpha}

Sređujemo dvojni razlomak kako bismo dobili konačan oblik:

2sin⁡(π3−α)cos⁡α\frac{2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{\cos \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti