5121. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f$ je strogo rastuća na skupu ako za svaka dva broja $x_1<x_2$ iz tog skupa važi $f(x_1)<f(x_2) ,$ a strogo opadajuća ako iz $x_1<x_2$ sledi $f(x_1)>f(x_2) .$ Dakle, uzimamo dva proizvoljna broja $x_1<x_2$ i upoređujemo vrednosti funkcije u njima; najlakše je ispitati znak razlike $f(x_2)-f(x_1) :$ ako je pozitivna, funkcija raste, a ako je negativna, opada.

Neka je $x_1<x_2 .$ Konstanta $1$ se poništi, a za kubove koristimo formulu za razliku kubova:

y(x_2)-y(x_1)=(x_2^3-x_1^3)+2(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+2(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2)

Prvi činilac je pozitivan. Za drugi pokazujemo da je uvek pozitivan dopunjavanjem do potpunog kvadrata: $x_1^2+x_1x_2$ je početak kvadrata $\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2=x_1^2+x_1x_2+\frac{x_2^2}{4} ,$ pa je:

x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2=\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac34x_2^2+2>0

Zbir dva nenegativna broja i broja $2$ je pozitivan. Dakle, $y(x_2)-y(x_1)>0$ za svaka dva broja $x_1<x_2 .$

Funkcija $y=x^3+2x+1$ strogo raste na celom skupu $\mathbb{R} .$

Započni učenje

Online časovi

97.v

Beleške