5107. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Funkcija $\arcsin t$ je ugao iz $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ čiji je sinus $t ,$ pa je definisana samo za $-1\leq t\leq1 .$ Najpre proveravamo koren u imeniocu: izraz ispod njega je uvek pozitivan:

x^4-2x^2+2=(x^2-1)^2+1\geq1

Zato je argument $t=\frac{x^2\sqrt2}{2\sqrt{x^4-2x^2+2}}$ definisan za svako $x ,$ i nije negativan (brojilac $\geq0 ,$ imenilac $>0$ ). Treba još proveriti $t\leq1 ,$ tj. da brojilac nije veći od imenioca. Obe strane su nenegativne, pa smemo kvadrirati:

x^2\sqrt2\leq2\sqrt{x^4-2x^2+2} \iff 2x^4\leq4(x^4-2x^2+2) \iff 0\leq2x^4-8x^2+8=2(x^2-2)^2

Poslednja nejednakost uvek važi (kvadrat nije negativan), pa je $0\leq t\leq1$ i funkcija je definisana za svako realno $x .$

Funkcija $\arcsin$ raste i $\arcsin0=0 ,$ pa je $\arcsin t=0$ samo za $t=0 ,$ a $\arcsin t>0$ za $t\in(0,1] .$ Argument $t$ je nula samo kada je brojilac $x^2\sqrt2=0 ,$ tj. za $x=0 .$

Jedina nula funkcije je $x=0 ,$ a za svako $x\neq0$ funkcija je pozitivna.

Započni učenje

Online časovi

93.k

Beleške