5073. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je neparna ako važe dva uslova: (1) skup $A$ je simetričan u odnosu na $0 ,$ tj. iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ; (2) za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Prvi uslov: $\arcsin x$ je ugao iz $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ čiji je sinus jednak $x .$ Kako sinus uzima vrednosti samo između $-1$ i $1 ,$ funkcija $\arcsin x$ je definisana za $x\in[-1,1] .$ Ostali sabirci su definisani za svako $x ,$ pa je $A=[-1,1] ,$ a to je simetričan skup.

Funkcija $\arcsin$ je neparna: ako je sinus ugla $\alpha$ jednak $x ,$ onda je sinus ugla $-\alpha$ jednak $-x .$ Na primer, $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6} ,$ a $\arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6} :$

\arcsin(-x)=-\arcsin x

Drugi uslov: zamenjujemo $x$ sa $-x$ u svakom sabirku. Sva tri sabirka menjaju znak, pa iz zagrade izdvajamo minus:

y(-x)=-x+\frac12(-x)^3-\arcsin(-x)=-x-\frac12x^3+\arcsin x=-\left(x+\frac12x^3-\arcsin x\right)=-y(x)

Oba uslova su ispunjena, pa je funkcija neparna.

Započni učenje

Online časovi

89.d

Beleške