5111. Svojstva realnih funkcija

Funkcija je definisana kada su ispunjena tri uslova: (1) argument logaritma je pozitivan; (2) imenilac nije nula; (3) broj ispod kvadratnog korena nije negativan. Proveravamo ih redom.

(1) Argument logaritma. Množimo nejednakost sa $-1$ (znak se okreće) i rastavljamo trinom; nule trinoma $2x^2+x-1$ su $\frac12$ i $-1 .$ Trinom sa pozitivnim koeficijentom uz $x^2$ je negativan između svojih nula:

1-x-2x^2>0 \iff 2x^2+x-1<0 \iff (2x-1)(x+1)<0 \iff -1<x<\frac12

(2) Imenilac rastavljamo izvlačenjem $-x :$

-4x^2-x=-x(4x+1)\neq0 \iff x\neq0 \ \text{ i } \ x\neq-\frac14

(3) Razlomak ispod korena mora biti $\geq0 ,$ pa nam treba znak brojioca i imenioca. Prirodni logaritam je nenegativan kada je argument najmanje $1$ (jer je $\ln1=0$ ):

\ln(1-x-2x^2)\geq0 \iff 1-x-2x^2\geq1 \iff -x(2x+1)\geq0 \iff -\frac12\leq x\leq0

Imenilac $-x(4x+1)$ je pozitivan tačno kada je $x(4x+1)<0 ,$ tj. kada $x$ i $4x+1$ imaju različite znakove, a to je za $-\frac14<x<0 .$ Na ostatku intervala $\left(-1,\frac12\right)$ imenilac je negativan. Znak određujemo tabelom. Tačke u kojima su činioci jednaki nuli dele brojevnu pravu na intervale, a na svakom intervalu svaki činilac ima stalan znak. Znak proizvoda ili količnika dobijamo „množenjem” znakova: paran broj minusa daje plus, a neparan minus.

\left(-1,-\frac12\right)

\left(-\frac12,-\frac14\right)

\left(-\frac14,0\right)

\left(0,\frac12\right)

\ln(1-x-2x^2)

-

+

+

-

-4x^2-x

-

-

+

-

\frac{\ln(1-x-2x^2)}{-4x^2-x}

+

-

+

+

Ostaje da proverimo granične tačke. U tački $x=-\frac12$ brojilac je $\ln1=0 ,$ a imenilac je $-4\cdot\frac14+\frac12=-\frac12\neq0 ,$ pa je razlomak jednak nuli i koren postoji: ta tačka pripada oblasti. Tačka $x=\frac12$ ne pripada, jer je tada argument logaritma $1-\frac12-\frac12=0 ,$ a $\ln0$ ne postoji. Dakle:

D=\left(-1,-\frac12\right]\cup\left(-\frac14,0\right)\cup\left(0,\frac12\right)

Oblast definisanosti funkcije je $\left(-1,-\frac12\right]\cup\left(-\frac14,0\right)\cup\left(0,\frac12\right) .$

Započni učenje

Online časovi

94.a

Beleške