5109. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Funkcija je definisana kada imenilac nije nula, tj. za $x\neq\pm1 .$ Funkcija $\operatorname{arctg}t$ je ugao iz $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ čiji je tangens $t .$ Ona raste i $\operatorname{arctg}0=0 ,$ pa je pozitivna za $t>0 ,$ negativna za $t<0$ i nula samo za $t=0 .$ Zato ispitujemo znak izraza:

t=\frac{x^2}{x^2-1}=\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}

Brojilac $x^2$ je nula samo za $x=0 ,$ a inače je pozitivan. Znak zato određuje imenilac: $x^2-1>0$ za $x<-1$ ili $x>1 ,$ a $x^2-1<0$ za $-1<x<1 .$

Jedina nula je $x=0 .$ Funkcija je pozitivna za $x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) ,$ a negativna za $x\in(-1,0)\cup(0,1) .$

Započni učenje

Online časovi

93.z

Beleške