2413.

633.b

TEKST ZADATKA

Uprostiti trigonometrijski izraz korišćenjem periodičnosti i svođenja na oštar ugao:

cos⁡(6π+1)\cos(6\pi + 1)
REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo osobinu periodičnosti funkcije kosinus. Osnovni period funkcije cos⁡x \cos x je 2π, 2\pi , što znači da važi cos⁡(α+2kπ)=cos⁡α \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha za svaki ceo broj k. k .

cos⁡(α+2kπ)=cos⁡α,k∈Z\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha, \quad k \in \mathbb{Z}

U datom izrazu cos⁡(6π+1), \cos(6\pi + 1) , argument možemo zapisati u obliku 2kπ+α, 2k\pi + \alpha , gde je k=3 k = 3 i α=1. \alpha = 1 .

6π+1=3⋅(2π)+16\pi + 1 = 3 \cdot (2\pi) + 1

Primenom pravila o periodičnosti, član 6π 6\pi (što predstavlja tri puna kruga) ne menja vrednost funkcije, pa ga možemo izostaviti.

cos⁡(6π+1)=cos⁡(1)\cos(6\pi + 1) = \cos(1)

Vrednost argumenta je 1 1 radijan. Kako je 0<1<π2 0 < 1 < \frac{\pi}{2} (jer je π2≈1.57 \frac{\pi}{2} \approx 1.57 ), ugao se nalazi u prvom kvadrantu gde je kosinus pozitivan. Konačan rezultat je:

cos⁡(1)\cos(1)