Vrednost izraza za x jednako koren 3 kroz 2

Prvo ćemo odrediti vrednost izraza $1+x$ za zadato $x ,$ a zatim ćemo ga transformisati u savršen kvadrat kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena.

1 + x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}

Da bismo dobili izraz koji je potpuni kvadrat, proširujemo razlomak sa 2 i grupišemo članove u kvadrat binoma:

\frac{2 + \sqrt{3}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{4} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{4}

Sada računamo kvadratni koren ovog izraza. Pošto je $\sqrt{3} + 1 > 0 ,$ apsolutna vrednost nije potrebna:

\sqrt{1 + x} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{4}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}

Na isti način računamo vrednost izraza $1-x$ i pripremamo ga za korenovanje:

1 - x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4}

Računamo koren iz $1-x :$

\sqrt{1 - x} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}

Sada računamo vrednost prvog razlomka iz početnog izraza. Zamenjujemo dobijene vrednosti za $1+x$ i $\sqrt{1+x} :$

\frac{1 + x}{1 + \sqrt{1 + x}} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}

Racionališemo dobijeni razlomak množenjem brojioca i imenioca sa konjugovanim izrazom $3 - \sqrt{3} :$

\frac{(2 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}

Zatim računamo vrednost drugog razlomka zamenom vrednosti za $1-x$ i $\sqrt{1-x} :$

\frac{1 - x}{1 - \sqrt{1 - x}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

Racionališemo i drugi razlomak množenjem brojioca i imenioca sa $3 + \sqrt{3} :$

\frac{(2 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}

Konačno, oduzimamo vrednost drugog razlomka od prvog kako bismo dobili traženi rezultat:

\frac{3 + \sqrt{3}}{6} - \frac{3 - \sqrt{3}}{6} = \frac{3 + \sqrt{3} - (3 - \sqrt{3})}{6}

Sređujemo brojilac i dobijamo konačan rezultat:

\frac{3 + \sqrt{3} - 3 + \sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Započni učenje

Online časovi

64.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci