1200.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza: (16−x2)12 (16 - x^2)^{\frac{1}{2}} za x=(10+2⋅512)12. x = (10 + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} .

(16−x2)12(16 - x^2)^{\frac{1}{2}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo vrednost za x2, x^2 , jer se ona traži u početnom izrazu. Kvadriranjem date vrednosti za x x oslobađamo se spoljašnjeg stepena 12. \frac{1}{2} .

x2=((10+2⋅512)12)2=10+2⋅512=10+25x^2 = \left( (10 + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \right)^2 = 10 + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 10 + 2\sqrt{5}

Sada menjamo dobijenu vrednost za x2 x^2 u izraz 16−x2. 16 - x^2 .

16−x2=16−(10+25)16 - x^2 = 16 - (10 + 2\sqrt{5})

Uprošćavamo dobijeni izraz oslobađanjem od zagrade i oduzimanjem.

16−10−25=6−2516 - 10 - 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5}

Vraćamo uprošćeni izraz pod početni stepen 12, \frac{1}{2} , što je ekvivalentno kvadratnom korenu.

(6−25)12=6−25\left( 6 - 2\sqrt{5} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}

Da bismo uprostili koren, potkorenu veličinu 6−25 6 - 2\sqrt{5} pokušaćemo da zapišemo kao kvadrat binoma oblika (a−b)2=a2−2ab+b2. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .

6−25=5−25+1=(5)2−25⋅1+126 - 2\sqrt{5} = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2

Zapisujemo izraz kao kvadrat binoma.

6−25=(5−1)26 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2

Menjamo kvadrat binoma nazad pod koren. Koren i kvadrat se krate, ali moramo staviti apsolutnu vrednost jer važi pravilo A2=∣A∣. \sqrt{A^2} = |A| .

(5−1)2=∣5−1∣\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1|

Pošto je 5>1, \sqrt{5} > 1 , vrednost unutar apsolutne zagrade je pozitivna, pa se oslobađamo apsolutne vrednosti bez promene znaka i dobijamo konačno rešenje.

5−1\sqrt{5} - 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti