Rešavanje trougla iz b + c, a i razlike uglova

Prema sinusnoj teoremi, stranice trougla možemo izraziti preko stranice $a$ i uglova trougla.

b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}, \quad c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}

Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo izraz za zbir stranica $b+c .$

b + c = \frac{a (\sin \beta + \sin \gamma)}{\sin \alpha}

Primenjujemo trigonometrijsku formulu za transformaciju zbira sinusa u proizvod.

\sin \beta + \sin \gamma = 2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}

Kako je zbir uglova u trouglu $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ ,$ važi $\frac{\beta + \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} .$ Zbog toga je $\sin \frac{\beta + \gamma}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} .$ Takođe, primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na imenilac.

\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Zamenom ovih izraza u jednačinu za $b+c$ dobijamo sledeći oblik:

b + c = \frac{a \cdot 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}

Skraćivanjem razlomka dobijamo poznatu Molvajdovu formulu, iz koje možemo izraziti $\sin \frac{\alpha}{2} .$

\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{a \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{b + c}

Pošto su elementi $a ,$ $b+c$ i $\beta-\gamma$ poznati, iz prethodne jednačine računamo ugao $\alpha .$ Zatim, iz zbira uglova u trouglu nalazimo zbir preostala dva ugla.

\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha

Sada imamo sistem od dve linearne jednačine sa nepoznatima $\beta$ i $\gamma ,$ gde je razlika $\beta - \gamma$ data u zadatku. Rešavanjem ovog sistema nalazimo uglove $\beta$ i $\gamma .$

\begin{cases} \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha \\ \beta - \gamma = \text{dato} \end{cases}

Na kraju, kada su poznati svi uglovi i stranica $a ,$ preostale stranice $b$ i $c$ računamo direktno iz sinusne teoreme.

b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}, \quad c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}

Započni učenje

Online časovi

1008.б

Beleške