2959. Sinusna i kosinusna teorema i primena

Koristimo sinusnu teoremu da bismo odredili ugao $\beta :$

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Izražavamo $\sin \beta$ iz formule:

\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}

Zamenjujemo poznate vrednosti u formulu:

\sin \beta = \frac{18 \cdot \sin 28^\circ 35'}{10}

Računamo vrednost sinusa (uzimajući približnu vrednost $\sin 28^\circ 35' \approx 0.4784$ ):

\sin \beta \approx \frac{18 \cdot 0.4784}{10} = 0.8611

Pošto je $a < b$ ( $10 < 18$ ), a $\sin \beta < 1 ,$ postoje dva moguća rešenja za ugao $\beta$ (jedan oštar i jedan tup ugao):

\beta_1 \approx 59^\circ 27', \quad \beta_2 = 180^\circ - 59^\circ 27' = 120^\circ 33'

Sada razmatramo **prvi slučaj** kada je $\beta_1 = 59^\circ 27' .$ Računamo treći ugao $\gamma_1$ koristeći zbir uglova u trouglu:

\gamma_1 = 180^\circ - (\alpha + \beta_1) = 180^\circ - (28^\circ 35' + 59^\circ 27') = 180^\circ - 88^\circ 2' = 91^\circ 58'

Koristimo sinusnu teoremu da nađemo stranicu $c_1 :$

c_1 = \frac{a \sin \gamma_1}{\sin \alpha} = \frac{10 \cdot \sin 91^\circ 58'}{\sin 28^\circ 35'}

Računamo vrednost za $c_1$ (uzimajući $\sin 91^\circ 58' \approx 0.9994$ ):

c_1 \approx \frac{10 \cdot 0.9994}{0.4784} \approx 20.89

Zatim razmatramo **drugi slučaj** kada je $\beta_2 = 120^\circ 33' .$ Računamo treći ugao $\gamma_2 :$

\gamma_2 = 180^\circ - (\alpha + \beta_2) = 180^\circ - (28^\circ 35' + 120^\circ 33') = 180^\circ - 149^\circ 8' = 30^\circ 52'

Koristimo sinusnu teoremu da nađemo stranicu $c_2 :$

c_2 = \frac{a \sin \gamma_2}{\sin \alpha} = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ 52'}{\sin 28^\circ 35'}

Računamo vrednost za $c_2$ (uzimajući $\sin 30^\circ 52' \approx 0.5130$ ):

c_2 \approx \frac{10 \cdot 0.5130}{0.4784} \approx 10.72

Zapisujemo konačna rešenja za oba moguća trougla:

\begin{cases} \beta_1 = 59^\circ 27', \gamma_1 = 91^\circ 58', c_1 \approx 20.89 \\ \beta_2 = 120^\circ 33', \gamma_2 = 30^\circ 52', c_2 \approx 10.72 \end{cases}

996.a