1569. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prema Vijetovim formulama za jednačinu $x^2 - 8x + 15 = 0$ važi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 15

Transformišemo brojilac datog izraza tako da možemo da primenimo Vijetove formule:

7x_1^2 - 5x_1x_2 + 7x_2^2 = 7(x_1^2 + x_2^2) - 5x_1x_2

Kako je $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 ,$ brojilac postaje:

7((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2) - 5x_1x_2 = 7(x_1 + x_2)^2 - 19x_1x_2

Računamo vrednost brojioca zamenom vrednosti iz Vijetovih formula:

7 \cdot 8^2 - 19 \cdot 15 = 7 \cdot 64 - 285 = 448 - 285 = 163

Imenilac datog izraza predstavlja kub razlike. Prepoznajemo formulu:

x_1^3 - 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 - x_2^3 = (x_1 - x_2)^3

Da bismo odredili vrednost izraza $x_1 - x_2 ,$ koristimo identitet za kvadrat razlike:

(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2

Zamenom vrednosti računamo kvadrat razlike:

(x_1 - x_2)^2 = 8^2 - 4 \cdot 15 = 64 - 60 = 4

S obzirom na uslov zadatka da je $x_1 > x_2 ,$ zaključujemo da je razlika pozitivna, pa je:

x_1 - x_2 = \sqrt{4} = 2

Sada računamo vrednost imenioca:

(x_1 - x_2)^3 = 2^3 = 8

Konačna vrednost celog izraza je količnik izračunatog brojioca i imenioca:

\frac{7x_1^2 - 5x_1x_2 + 7x_2^2}{x_1^3 - 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 - x_2^3} = \frac{163}{8}

208