1568.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Ne rešavajući jednačinu x2+4x−21=0 x^2 + 4x - 21 = 0 odrediti vrednost izraza:

3x12−4x1x2+3x22x13+2x12x2+2x1x22+x23\frac{3x_1^2 - 4x_1x_2 + 3x_2^2}{x_1^3 + 2x_1^2x_2 + 2x_1x_2^2 + x_2^3}
REŠENJE ZADATKA

Prema Vijetovim formulama, za kvadratnu jednačinu oblika ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važe jednakosti:

x1+x2=−baix1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{i} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Iz jednačine x2+4x−21=0 x^2 + 4x - 21 = 0 očitavamo koeficijente a=1, a = 1 , b=4 b = 4 i c=−21. c = -21 . Primenom Vijetovih formula dobijamo:

x1+x2=−4ix1x2=−21x_1 + x_2 = -4 \quad \text{i} \quad x_1 x_2 = -21

Transformisaćemo brojilac zadatog izraza tako da sadrži samo zbir i proizvod rešenja:

3x12−4x1x2+3x22=3(x12+x22)−4x1x23x_1^2 - 4x_1x_2 + 3x_2^2 = 3(x_1^2 + x_2^2) - 4x_1x_2

Znamo da je x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2, x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 , pa zamenom dobijamo:

3((x1+x2)2−2x1x2)−4x1x2=3(x1+x2)2−6x1x2−4x1x23((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2) - 4x_1x_2 = 3(x_1 + x_2)^2 - 6x_1x_2 - 4x_1x_2

Sređivanjem izraza dobijamo konačan oblik brojioca:

3(x1+x2)2−10x1x23(x_1 + x_2)^2 - 10x_1x_2

Sada ćemo transformisati imenilac zadatog izraza grupisanjem članova:

x13+2x12x2+2x1x22+x23=(x13+x23)+2x1x2(x1+x2)x_1^3 + 2x_1^2x_2 + 2x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1^3 + x_2^3) + 2x_1x_2(x_1 + x_2)

Primenom formule za zbir kubova x13+x23=(x1+x2)(x12−x1x2+x22) x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) izraz postaje:

(x1+x2)(x12−x1x2+x22)+2x1x2(x1+x2)(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) + 2x_1x_2(x_1 + x_2)

Izvlačenjem zajedničkog činioca x1+x2 x_1 + x_2 dobijamo:

(x1+x2)(x12−x1x2+x22+2x1x2)=(x1+x2)(x12+x1x2+x22)(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 + 2x_1x_2) = (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)

Kako je x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2, x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 , imenilac možemo dodatno uprostiti:

(x1+x2)((x1+x2)2−2x1x2+x1x2)=(x1+x2)((x1+x2)2−x1x2)(x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 + x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - x_1x_2)

Zamenom dobijenih vrednosti iz Vijetovih formula (x1+x2=−4 x_1 + x_2 = -4 i x1x2=−21 x_1 x_2 = -21 ) računamo vrednost brojioca:

3(−4)2−10(−21)=3⋅16+210=48+210=2583(-4)^2 - 10(-21) = 3 \cdot 16 + 210 = 48 + 210 = 258

Na isti način računamo vrednost imenioca:

(−4)⋅((−4)2−(−21))=−4⋅(16+21)=−4⋅37=−148(-4) \cdot ((-4)^2 - (-21)) = -4 \cdot (16 + 21) = -4 \cdot 37 = -148

Konačno, deljenjem brojioca i imenioca dobijamo vrednost celokupnog izraza:

258−148=−12974\frac{258}{-148} = -\frac{129}{74}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti