Vietove formule: izraz za x kvadrat + 4x - 21 = 0

Prema Vijetovim formulama, za kvadratnu jednačinu oblika $ax^2 + bx + c = 0$ važe jednakosti:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{i} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Iz jednačine $x^2 + 4x - 21 = 0$ očitavamo koeficijente $a = 1 ,$ $b = 4$ i $c = -21 .$ Primenom Vijetovih formula dobijamo:

x_1 + x_2 = -4 \quad \text{i} \quad x_1 x_2 = -21

Transformisaćemo brojilac zadatog izraza tako da sadrži samo zbir i proizvod rešenja:

3x_1^2 - 4x_1x_2 + 3x_2^2 = 3(x_1^2 + x_2^2) - 4x_1x_2

Znamo da je $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 ,$ pa zamenom dobijamo:

3((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2) - 4x_1x_2 = 3(x_1 + x_2)^2 - 6x_1x_2 - 4x_1x_2

Sređivanjem izraza dobijamo konačan oblik brojioca:

3(x_1 + x_2)^2 - 10x_1x_2

Sada ćemo transformisati imenilac zadatog izraza grupisanjem članova:

x_1^3 + 2x_1^2x_2 + 2x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1^3 + x_2^3) + 2x_1x_2(x_1 + x_2)

Primenom formule za zbir kubova $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$ izraz postaje:

(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) + 2x_1x_2(x_1 + x_2)

Izvlačenjem zajedničkog činioca $x_1 + x_2$ dobijamo:

(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 + 2x_1x_2) = (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)

Kako je $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 ,$ imenilac možemo dodatno uprostiti:

(x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 + x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - x_1x_2)

Zamenom dobijenih vrednosti iz Vijetovih formula ( $x_1 + x_2 = -4$ i $x_1 x_2 = -21$ ) računamo vrednost brojioca:

3(-4)^2 - 10(-21) = 3 \cdot 16 + 210 = 48 + 210 = 258

Na isti način računamo vrednost imenioca:

(-4) \cdot ((-4)^2 - (-21)) = -4 \cdot (16 + 21) = -4 \cdot 37 = -148

Konačno, deljenjem brojioca i imenioca dobijamo vrednost celokupnog izraza:

\frac{258}{-148} = -\frac{129}{74}

207