Vietove formule: dokaz za razliku kubova rešenja

Prema Vijetovim formulama za rešenja kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0$ važi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Razliku kubova možemo faktorisati na sledeći način:

x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2)

Drugu zagradu možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja:

x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 + x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2

Zamenjujemo Vijetove formule u dobijeni izraz:

(x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - ac}{a^2}

Sada računamo razliku rešenja $x_2 - x_1 .$ Koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine, gde njena rešenja označavamo sa:

x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Oduzimamo ova dva rešenja:

x_2 - x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - (-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a} = \frac{2\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}

Vraćamo se na početni izraz i zamenjujemo dobijene delove:

x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1) \cdot ((x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2)

Ubacujemo izračunate vrednosti:

x_2^3 - x_1^3 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \cdot \frac{b^2 - ac}{a^2}

Množenjem razlomaka dobijamo konačan oblik, čime je tvrdnja dokazana.

x_2^3 - x_1^3 = \frac{b^2 - ac}{a^3}\sqrt{b^2 - 4ac}

206.b