Vietove formule: dokaz za razliku kvadrata rešenja

Izraz sa leve strane možemo rastaviti na činioce primenom formule za razliku kvadrata:

x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)

Prema Vijetovim formulama, zbir rešenja date kvadratne jednačine iznosi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Da bismo našli razliku rešenja $x_2 - x_1 ,$ koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine. Definišimo rešenja na sledeći način:

x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Računamo razliku ova dva rešenja:

x_2 - x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Stavljamo sve pod isti imenilac i sređujemo izraz:

x_2 - x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} + b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Skraćivanjem dobijamo uprošćen izraz za razliku rešenja:

x_2 - x_1 = \frac{2\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}

Sada zamenjujemo dobijene izraze za razliku i zbir rešenja u početnu formulu za razliku kvadrata:

x_2^2 - x_1^2 = \left( \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \right) \cdot \left( -\frac{b}{a} \right)

Množenjem razlomaka dobijamo traženi izraz, čime je dokaz završen.

x_2^2 - x_1^2 = -\frac{b}{a^2}\sqrt{b^2 - 4ac}

206.a