1566.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Dokazati da za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važe relacije:

x22−x12=−ba2b2−4ac;x_2^2 - x_1^2 = -\frac{b}{a^2}\sqrt{b^2 - 4ac};
REŠENJE ZADATKA

Izraz sa leve strane možemo rastaviti na činioce primenom formule za razliku kvadrata:

x22−x12=(x2−x1)(x2+x1)x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)

Prema Vijetovim formulama, zbir rešenja date kvadratne jednačine iznosi:

x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Da bismo našli razliku rešenja x2−x1, x_2 - x_1 , koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine. Definišimo rešenja na sledeći način:

x1=−b−b2−4ac2a,x2=−b+b2−4ac2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Računamo razliku ova dva rešenja:

x2−x1=−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2ax_2 - x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Stavljamo sve pod isti imenilac i sređujemo izraz:

x2−x1=−b+b2−4ac+b+b2−4ac2ax_2 - x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} + b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Skraćivanjem dobijamo uprošćen izraz za razliku rešenja:

x2−x1=2b2−4ac2a=b2−4acax_2 - x_1 = \frac{2\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}

Sada zamenjujemo dobijene izraze za razliku i zbir rešenja u početnu formulu za razliku kvadrata:

x22−x12=(b2−4aca)⋅(−ba)x_2^2 - x_1^2 = \left( \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \right) \cdot \left( -\frac{b}{a} \right)

Množenjem razlomaka dobijamo traženi izraz, čime je dokaz završen.

x22−x12=−ba2b2−4acx_2^2 - x_1^2 = -\frac{b}{a^2}\sqrt{b^2 - 4ac}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti