1482.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačini x2+px+12=0, x^2 + px + 12 = 0 , odrediti realan broj p p ako je razlika rešenja date jednačine jednaka jedan.

x2+px+12=0,x1−x2=1x^2 + px + 12 = 0, \quad x_1 - x_2 = 1
REŠENJE ZADATKA

Iz date jednačine identifikujemo koeficijente a, a , b b i c. c .

a=1,b=p,c=12a = 1, \quad b = p, \quad c = 12

Koristimo Vijetove formule da uspostavimo vezu između rešenja x1 x_1 i x2. x_2 .

{x1+x2=−ba=−px1⋅x2=ca=12\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -p \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 12 \end{cases}

Pored Vijetovih formula, koristimo i uslov zadatka o razlici rešenja.

x1−x2=1x_1 - x_2 = 1

Sada imamo sistem od dve jednačine sa nepoznatima x1 x_1 i x2: x_2 :

{x1+x2=−px1−x2=1\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 - x_2 = 1 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine računamo x1, x_1 , a oduzimanjem računamo x2. x_2 .

2x1=1−p  ⟹  x1=1−p2,2x2=−p−1  ⟹  x2=−p−122x_1 = 1 - p \implies x_1 = \frac{1 - p}{2}, \quad 2x_2 = -p - 1 \implies x_2 = \frac{-p - 1}{2}

Dobijene izraze za x1 x_1 i x2 x_2 menjamo u drugu Vijetovu formulu x1⋅x2=12. x_1 \cdot x_2 = 12 .

(1−p2)⋅(−(p+1)2)=12\left( \frac{1 - p}{2} \right) \cdot \left( \frac{-(p + 1)}{2} \right) = 12

Sređujemo jednačinu koristeći razliku kvadrata u brojiocu.

−p2−14=12  ⟹  p2−1=−48  ⟹  p2=−47-\frac{p^2 - 1}{4} = 12 \implies p^2 - 1 = -48 \implies p^2 = -47

Alternativno, možemo koristiti identitet (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2 (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 da izbegnemo sisteme.

12=(−p)2−4⋅121^2 = (-p)^2 - 4 \cdot 12

Računamo vrednost koeficijenta p. p .

1=p2−48  ⟹  p2=49  ⟹  p=±71 = p^2 - 48 \implies p^2 = 49 \implies p = \pm 7

Konačna rešenja za realan broj p p su:

p1=7,p2=−7p_1 = 7, \quad p_2 = -7

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti