Parametar p ako je razlika rešenja jednaka 1

Iz date jednačine identifikujemo koeficijente $a ,$ $b$ i $c .$

a = 1, \quad b = p, \quad c = 12

Koristimo Vijetove formule da uspostavimo vezu između rešenja $x_1$ i $x_2 .$

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -p \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 12 \end{cases}

Pored Vijetovih formula, koristimo i uslov zadatka o razlici rešenja.

x_1 - x_2 = 1

Sada imamo sistem od dve jednačine sa nepoznatima $x_1$ i $x_2 :$

\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 - x_2 = 1 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine računamo $x_1 ,$ a oduzimanjem računamo $x_2 .$

2x_1 = 1 - p \implies x_1 = \frac{1 - p}{2}, \quad 2x_2 = -p - 1 \implies x_2 = \frac{-p - 1}{2}

Dobijene izraze za $x_1$ i $x_2$ menjamo u drugu Vijetovu formulu $x_1 \cdot x_2 = 12 .$

\left( \frac{1 - p}{2} \right) \cdot \left( \frac{-(p + 1)}{2} \right) = 12

Sređujemo jednačinu koristeći razliku kvadrata u brojiocu.

-\frac{p^2 - 1}{4} = 12 \implies p^2 - 1 = -48 \implies p^2 = -47

Alternativno, možemo koristiti identitet $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ da izbegnemo sisteme.

1^2 = (-p)^2 - 4 \cdot 12

Računamo vrednost koeficijenta $p .$

1 = p^2 - 48 \implies p^2 = 49 \implies p = \pm 7

Konačna rešenja za realan broj $p$ su:

p_1 = 7, \quad p_2 = -7

178