Parametar m ako je jedno rešenje tri puta veće

Najpre identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 .$ Da bi jednačina bila kvadratna, mora važiti $a \neq 0 ,$ odnosno $m \neq 3 .$

a = m - 3, \quad b = -(m + 4), \quad c = 3m

Postavljamo uslov zadatka. Ako su $x_1$ i $x_2$ rešenja jednačine, uslov da je jedno tri puta veće od drugog zapisujemo kao:

x_1 = 3x_2

Koristimo Vijetove formule da povežemo rešenja sa koeficijentima jednačine:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{m + 4}{m - 3} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3m}{m - 3}

Zamenjujemo uslov $x_1 = 3x_2$ u prvu Vijetovu formulu kako bismo izrazili $x_2$ preko $m :$

3x_2 + x_2 = \frac{m + 4}{m - 3} \implies 4x_2 = \frac{m + 4}{m - 3} \implies x_2 = \frac{m + 4}{4(m - 3)}

Sada zamenjujemo $x_1 = 3x_2$ u drugu Vijetovu formulu:

3x_2 \cdot x_2 = \frac{3m}{m - 3} \implies 3x_2^2 = \frac{3m}{m - 3} \implies x_2^2 = \frac{m}{m - 3}

Uvrštavamo izraz za $x_2$ iz koraka 4 u jednačinu iz koraka 5:

\left( \frac{m + 4}{4(m - 3)} \right)^2 = \frac{m}{m - 3}

Kvadriramo levu stranu i sređujemo jednačinu po $m :$

\frac{(m + 4)^2}{16(m - 3)^2} = \frac{m}{m - 3}

Množimo celu jednačinu sa $16(m - 3)^2$ (uz uslov $m \neq 3$ ):

(m + 4)^2 = 16m(m - 3)

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo izraz:

m^2 + 8m + 16 = 16m^2 - 48m \\ 15m^2 - 56m - 16 = 0

Računamo rešenja dobijene kvadratne jednačine po $m$ koristeći formulu:

m_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{(-56)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-16)}}{2 \cdot 15} \\ m_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{3136 + 960}}{30} \\ m_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{4096}}{30} = \frac{56 \pm 64}{30}

Dobijamo dve moguće vrednosti za parametar $m :$

m_1 = \frac{120}{30} = 4, \quad m_2 = \frac{-8}{30} = -\frac{4}{15}

Započni učenje

Privatni časovi

176

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci