1538.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

U jednačini x2−(m2−2)x+m2+1=0 x^2 - (m^2 - 2)x + m^2 + 1 = 0 čija su rešenja x1 x_1 i x2 x_2 odrediti m∈R m \in \mathbb{R} ako je x2−x1=6. x_2 - x_1 = 6 .

x2−(m2−2)x+m2+1=0x^2 - (m^2 - 2)x + m^2 + 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Iz date kvadratne jednačine identifikujemo koeficijente a, a , b b i c: c :

a=1,b=−(m2−2),c=m2+1a = 1, \quad b = -(m^2 - 2), \quad c = m^2 + 1

Koristimo Vietove formule koje povezuju rešenja jednačine sa njenim koeficijentima:

x1+x2=−ba=m2−2,x1⋅x2=ca=m2+1x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m^2 - 2, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = m^2 + 1

Sastavljamo sistem jednačina koristeći uslov zadatka x2−x1=6 x_2 - x_1 = 6 i prvu Vietovu formulu:

{x2−x1=6x2+x1=m2−2\begin{cases} x_2 - x_1 = 6 \\ x_2 + x_1 = m^2 - 2 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine računamo x2, x_2 , a zatim oduzimanjem računamo x1: x_1 :

2x2=m2+4  ⟹  x2=m2+42,2x1=m2−8  ⟹  x1=m2−822x_2 = m^2 + 4 \implies x_2 = \frac{m^2 + 4}{2}, \quad 2x_1 = m^2 - 8 \implies x_1 = \frac{m^2 - 8}{2}

Dobijene izraze za x1 x_1 i x2 x_2 uvrštavamo u drugu Vietovu formulu x1⋅x2=m2+1: x_1 \cdot x_2 = m^2 + 1 :

m2−82⋅m2+42=m2+1\frac{m^2 - 8}{2} \cdot \frac{m^2 + 4}{2} = m^2 + 1

Sređujemo jednačinu množenjem sa 4 i uvođenjem smene t=m2: t = m^2 :

(t−8)(t+4)=4(t+1)  ⟹  t2−4t−32=4t+4(t - 8)(t + 4) = 4(t + 1) \implies t^2 - 4t - 32 = 4t + 4

Dobijamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t2−8t−36=0t^2 - 8t - 36 = 0

Računamo rešenja po t t koristeći kvadratnu formulu:

t1,2=8±64−4⋅1⋅(−36)2=8±2082=4±213t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{208}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{13}

Vraćamo smenu m2=t. m^2 = t . Pošto se u zadatku traži m∈R, m \in \mathbb{R} , mora važiti t≥0. t \ge 0 . Kako je 4−213<0, 4 - 2\sqrt{13} < 0 , uzimamo samo pozitivnu vrednost:

m2=4+213m^2 = 4 + 2\sqrt{13}

Konačna rešenja za parametar m m su:

m=±4+213m = \pm \sqrt{4 + 2\sqrt{13}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti