Vietove formule: parametar m ako je x2 - x1 = 6

Iz date kvadratne jednačine identifikujemo koeficijente $a ,$ $b$ i $c :$

a = 1, \quad b = -(m^2 - 2), \quad c = m^2 + 1

Koristimo Vietove formule koje povezuju rešenja jednačine sa njenim koeficijentima:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m^2 - 2, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = m^2 + 1

Sastavljamo sistem jednačina koristeći uslov zadatka $x_2 - x_1 = 6$ i prvu Vietovu formulu:

\begin{cases} x_2 - x_1 = 6 \\ x_2 + x_1 = m^2 - 2 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine računamo $x_2 ,$ a zatim oduzimanjem računamo $x_1 :$

2x_2 = m^2 + 4 \implies x_2 = \frac{m^2 + 4}{2}, \quad 2x_1 = m^2 - 8 \implies x_1 = \frac{m^2 - 8}{2}

Dobijene izraze za $x_1$ i $x_2$ uvrštavamo u drugu Vietovu formulu $x_1 \cdot x_2 = m^2 + 1 :$

\frac{m^2 - 8}{2} \cdot \frac{m^2 + 4}{2} = m^2 + 1

Sređujemo jednačinu množenjem sa 4 i uvođenjem smene $t = m^2 :$

(t - 8)(t + 4) = 4(t + 1) \implies t^2 - 4t - 32 = 4t + 4

Dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t^2 - 8t - 36 = 0

Računamo rešenja po $t$ koristeći kvadratnu formulu:

t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{208}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{13}

Vraćamo smenu $m^2 = t .$ Pošto se u zadatku traži $m \in \mathbb{R} ,$ mora važiti $t \ge 0 .$ Kako je $4 - 2\sqrt{13} < 0 ,$ uzimamo samo pozitivnu vrednost:

m^2 = 4 + 2\sqrt{13}

Konačna rešenja za parametar $m$ su:

m = \pm \sqrt{4 + 2\sqrt{13}}

Započni učenje

Privatni časovi

248.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci