1537. Jednačine koje se svode na kvadratne

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 :$

a = 1, \quad b = -(2m^2 - 1), \quad c = 2(m^2 + 2)

Koristimo Vietova pravila za zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2m^2 - 1, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 2(m^2 + 2)

Postavljamo sistem jednačina koristeći uslov zadatka $x_2 - x_1 = 1$ i Vietovo pravilo za zbir:

\begin{cases} x_2 - x_1 = 1 \\ x_2 + x_1 = 2m^2 - 1 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine nalazimo $x_2 ,$ a zatim oduzimanjem nalazimo $x_1 :$

2x_2 = 2m^2 \implies x_2 = m^2, \quad 2x_1 = 2m^2 - 2 \implies x_1 = m^2 - 1

Dobijene izraze za $x_1$ i $x_2$ uvrštavamo u Vietovo pravilo za proizvod $x_1 x_2 = 2(m^2 + 2) :$

(m^2 - 1)m^2 = 2(m^2 + 2)

Sređujemo jednačinu po nepoznatoj $m .$ Uvodimo smenu $t = m^2 :$

m^4 - m^2 = 2m^2 + 4 \implies m^4 - 3m^2 - 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu $t^2 - 3t - 4 = 0 :$

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}

Dobijamo rešenja za $t :$

t_1 = 4, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu $m^2 = t .$ Kako se u zadatku traži realan parametar $m ,$ razmatramo oba slučaja:

m^2 = 4 \implies m = \pm 2 \\ m^2 = -1 \implies m = \pm i

S obzirom na to da je uslov da je $m$ realan broj, jedina važeća rešenja su:

m_1 = 2, \quad m_2 = -2

1537.Jednačine koje se svode na kvadratne