1536.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Odredi jednačinu čija su rešenja sledeći skup brojeva:

{−1,1,3,13,−i,i}\left\{ -1, 1, 3, \frac{1}{3}, -i, i \right\}
REŠENJE ZADATKA

Svaku jednačinu čija su rešenja poznata možemo konstruisati kao proizvod faktora oblika (x−xn)=0, (x - x_n) = 0 , gde su xn x_n data rešenja. Naša jednačina će biti šestog stepena:

(x−(−1))(x−1)(x−3)(x−13)(x−(−i))(x−i)=0(x - (-1))(x - 1)(x - 3)(x - \frac{1}{3})(x - (-i))(x - i) = 0

Grupišemo faktore u parove radi lakšeg množenja. Prvo množimo faktore sa realnim celobrojnim rešenjima, zatim sa razlomcima, i na kraju sa konjugovano-kompleksnim rešenjima.

[(x+1)(x−1)]⋅[(x−3)(x−13)]⋅[(x+i)(x−i)]=0[(x + 1)(x - 1)] \cdot [(x - 3)(x - \frac{1}{3})] \cdot [(x + i)(x - i)] = 0

Računamo proizvode unutar zagrada koristeći razliku kvadrata i distributivni zakon:

(x2−1)⋅(x2−13x−3x+1)⋅(x2−i2)=0(x^2 - 1) \cdot (x^2 - \frac{1}{3}x - 3x + 1) \cdot (x^2 - i^2) = 0

Sređujemo izraze, uzimajući u obzir da je i2=−1: i^2 = -1 :

(x2−1)⋅(x2−103x+1)⋅(x2+1)=0(x^2 - 1) \cdot (x^2 - \frac{10}{3}x + 1) \cdot (x^2 + 1) = 0

Pomnožimo prvi i treći član jer ponovo čine razliku kvadrata:

(x4−1)⋅(x2−103x+1)=0(x^4 - 1) \cdot (x^2 - \frac{10}{3}x + 1) = 0

Množimo preostala dva polinoma:

x6−103x5+x4−x2+103x−1=0x^6 - \frac{10}{3}x^5 + x^4 - x^2 + \frac{10}{3}x - 1 = 0

Da bismo se oslobodili razlomka, celu jednačinu množimo sa 3, čime dobijamo konačan oblik jednačine:

3x6−10x5+3x4−3x2+10x−3=03x^6 - 10x^5 + 3x^4 - 3x^2 + 10x - 3 = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti