Jednačina sa rešenjima 3, 1/3 i imaginarnim i

Svaku jednačinu čija su rešenja poznata možemo konstruisati kao proizvod faktora oblika $(x - x_n) = 0 ,$ gde su $x_n$ data rešenja. Naša jednačina će biti šestog stepena:

(x - (-1))(x - 1)(x - 3)(x - \frac{1}{3})(x - (-i))(x - i) = 0

Grupišemo faktore u parove radi lakšeg množenja. Prvo množimo faktore sa realnim celobrojnim rešenjima, zatim sa razlomcima, i na kraju sa konjugovano-kompleksnim rešenjima.

[(x + 1)(x - 1)] \cdot [(x - 3)(x - \frac{1}{3})] \cdot [(x + i)(x - i)] = 0

Računamo proizvode unutar zagrada koristeći razliku kvadrata i distributivni zakon:

(x^2 - 1) \cdot (x^2 - \frac{1}{3}x - 3x + 1) \cdot (x^2 - i^2) = 0

Sređujemo izraze, uzimajući u obzir da je $i^2 = -1 :$

(x^2 - 1) \cdot (x^2 - \frac{10}{3}x + 1) \cdot (x^2 + 1) = 0

Pomnožimo prvi i treći član jer ponovo čine razliku kvadrata:

(x^4 - 1) \cdot (x^2 - \frac{10}{3}x + 1) = 0

Množimo preostala dva polinoma:

x^6 - \frac{10}{3}x^5 + x^4 - x^2 + \frac{10}{3}x - 1 = 0

Da bismo se oslobodili razlomka, celu jednačinu množimo sa 3, čime dobijamo konačan oblik jednačine:

3x^6 - 10x^5 + 3x^4 - 3x^2 + 10x - 3 = 0

Započni učenje

Privatni časovi

245.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci