1481.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Za koje je vrednosti realnog broja m m jedno rešenje kvadratne jednačine (m−3)x2−(m+4)x+3m=0 (m - 3)x^2 - (m + 4)x + 3m = 0 tri puta veće od drugog?

(m−3)x2−(m+4)x+3m=0(m - 3)x^2 - (m + 4)x + 3m = 0
REŠENJE ZADATKA

Najpre identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 . Da bi jednačina bila kvadratna, mora važiti a≠0, a \neq 0 , odnosno m≠3. m \neq 3 .

a=m−3,b=−(m+4),c=3ma = m - 3, \quad b = -(m + 4), \quad c = 3m

Postavljamo uslov zadatka. Ako su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine, uslov da je jedno tri puta veće od drugog zapisujemo kao:

x1=3x2x_1 = 3x_2

Koristimo Vijetove formule da povežemo rešenja sa koeficijentima jednačine:

x1+x2=−ba=m+4m−3x1⋅x2=ca=3mm−3x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{m + 4}{m - 3} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3m}{m - 3}

Zamenjujemo uslov x1=3x2 x_1 = 3x_2 u prvu Vijetovu formulu kako bismo izrazili x2 x_2 preko m: m :

3x2+x2=m+4m−3  ⟹  4x2=m+4m−3  ⟹  x2=m+44(m−3)3x_2 + x_2 = \frac{m + 4}{m - 3} \implies 4x_2 = \frac{m + 4}{m - 3} \implies x_2 = \frac{m + 4}{4(m - 3)}

Sada zamenjujemo x1=3x2 x_1 = 3x_2 u drugu Vijetovu formulu:

3x2⋅x2=3mm−3  ⟹  3x22=3mm−3  ⟹  x22=mm−33x_2 \cdot x_2 = \frac{3m}{m - 3} \implies 3x_2^2 = \frac{3m}{m - 3} \implies x_2^2 = \frac{m}{m - 3}

Uvrštavamo izraz za x2 x_2 iz koraka 4 u jednačinu iz koraka 5:

(m+44(m−3))2=mm−3\left( \frac{m + 4}{4(m - 3)} \right)^2 = \frac{m}{m - 3}

Kvadriramo levu stranu i sređujemo jednačinu po m: m :

(m+4)216(m−3)2=mm−3\frac{(m + 4)^2}{16(m - 3)^2} = \frac{m}{m - 3}

Množimo celu jednačinu sa 16(m−3)2 16(m - 3)^2 (uz uslov m≠3 m \neq 3 ):

(m+4)2=16m(m−3)(m + 4)^2 = 16m(m - 3)

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo izraz:

m2+8m+16=16m2−48m15m2−56m−16=0m^2 + 8m + 16 = 16m^2 - 48m \\ 15m^2 - 56m - 16 = 0

Računamo rešenja dobijene kvadratne jednačine po m m koristeći formulu:

m1,2=56±(−56)2−4⋅15⋅(−16)2⋅15m1,2=56±3136+96030m1,2=56±409630=56±6430m_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{(-56)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-16)}}{2 \cdot 15} \\ m_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{3136 + 960}}{30} \\ m_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{4096}}{30} = \frac{56 \pm 64}{30}

Dobijamo dve moguće vrednosti za parametar m: m :

m1=12030=4,m2=−830=−415m_1 = \frac{120}{30} = 4, \quad m_2 = \frac{-8}{30} = -\frac{4}{15}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti