3388. Prosti brojevi i rastavljanje na proste činioce

TEKST ZADATKA

Proizvod četiri uzastopna prirodna broja je $3024 .$ Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Neka su četiri uzastopna prirodna broja $n, n+1, n+2$ i $n+3 .$ Njihov proizvod možemo zapisati u obliku jednačine:

n(n+1)(n+2)(n+3) = 3024

Umesto rešavanja jednačine četvrtog stepena, iskoristićemo činjenicu da su u pitanju prirodni brojevi i primeniti kanonsku faktorizaciju, odnosno rastaviti broj $3024$ na proste činioce.

Delimo broj $3024$ redom prostim brojevima:

\begin{aligned} 3024 &= 2 \cdot 1512 \\ 1512 &= 2 \cdot 756 \\ 756 &= 2 \cdot 378 \\ 378 &= 2 \cdot 189 \\ 189 &= 3 \cdot 63 \\ 63 &= 3 \cdot 21 \\ 21 &= 3 \cdot 7 \\ 7 &= 7 \cdot 1 \end{aligned}

Na osnovu deljenja, kanonska faktorizacija broja $3024$ je:

3024 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 7

Pošto je $7$ prost činilac u faktorizaciji, jedan od tražena četiri uzastopna broja mora biti deljiv sa $7 .$

S obzirom na to da je $10^4 = 10000 ,$ što je znatno veće od $3024 ,$ traženi brojevi moraju biti manji od $10 .$ Zato umnožak broja $7$ ne može biti $14$ ili veći, već mora biti tačno $7 .$

Četiri uzastopna prirodna broja koja uključuju broj $7$ mogu biti samo neki od sledećih skupova:

\{4, 5, 6, 7\}, \quad \{5, 6, 7, 8\}, \quad \{6, 7, 8, 9\} \quad \text{ili} \quad \{7, 8, 9, 10\}

Broj $3024$ nije deljiv sa $5$ (ne završava se cifrom $0$ ili $5$ ), pa nijedan od traženih brojeva ne sme biti deljiv sa $5 .$

Zbog toga odbacujemo skupove koji sadrže brojeve $5$ ili $10 .$ Jedini preostali mogući skup je $\{6, 7, 8, 9\} .$

Proveravamo da li proizvod preostalih brojeva $6, 8$ i $9$ odgovara preostalim prostim činiocima $2^4 \cdot 3^3 :$

6 \cdot 8 \cdot 9 = (2 \cdot 3) \cdot 2^3 \cdot 3^2 = 2^4 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432

Pošto se proizvod poklapa sa preostalim delom faktorizacije, zaključujemo da su traženi brojevi:

6, 7, 8, 9

185