3391.

183.a

TEKST ZADATKA

Pomnožiti date brojeve a=2100 a = 2100 (slučaj 1) i b=2625 b = 2625 (slučaj 2) što je moguće manjim prirodnim brojem tako da se dobije potpun kvadrat.

REŠENJE ZADATKA

Da bi prirodan broj bio potpun kvadrat, svi izložioci u njegovoj kanonskoj faktorizaciji (rastavljanju na proste činioce) moraju biti parni brojevi. Zato ćemo prvo rastaviti date brojeve na proste činioce.

Rastavljamo broj a=2100 a = 2100 na proste činioce.

2100=21⋅100=3⋅7⋅22⋅52=22⋅31⋅52⋅712100 = 21 \cdot 100 = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1

U faktorizaciji broja 2100, prosti činioci 3 i 7 imaju neparan izložilac (1). Da bi se dobio potpun kvadrat, potrebno je da te izložioce dopunimo do prvog sledećeg parnog broja (do 2).

2100⋅x=(22⋅31⋅52⋅71)⋅(31⋅71)=22⋅32⋅52⋅722100 \cdot x = (2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1) \cdot (3^1 \cdot 7^1) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2

Dakle, najmanji prirodan broj kojim treba pomnožiti 2100 da bi se dobio potpun kvadrat je:

x=31⋅71=21x = 3^1 \cdot 7^1 = 21

Sada rastavljamo broj b=2625 b = 2625 na proste činioce.

2625=25⋅105=52⋅5⋅21=31⋅53⋅712625 = 25 \cdot 105 = 5^2 \cdot 5 \cdot 21 = 3^1 \cdot 5^3 \cdot 7^1

U faktorizaciji broja 2625, svi prosti činioci (3, 5 i 7) imaju neparne izložioce (1, 3 i 1). Da bi se dobio potpun kvadrat, potrebno je da te izložioce dopunimo do prvih sledećih parnih brojeva (do 2, 4 i 2).

2625⋅y=(31⋅53⋅71)⋅(31⋅51⋅71)=32⋅54⋅722625 \cdot y = (3^1 \cdot 5^3 \cdot 7^1) \cdot (3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1) = 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^2

Dakle, najmanji prirodan broj kojim treba pomnožiti 2625 da bi se dobio potpun kvadrat je:

y=31⋅51⋅71=15⋅7=105y = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 15 \cdot 7 = 105