3390.

184

TEKST ZADATKA

Proizvod tri uzastopna cela broja je 504. 504 . Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Neka su traženi uzastopni celi brojevi n−1, n-1 , n n i n+1. n+1 . Njihov proizvod možemo zapisati u obliku jednačine:

(n−1)⋅n⋅(n+1)=504(n-1) \cdot n \cdot (n+1) = 504

Pošto je proizvod pozitivan (504>0 504 > 0 ), a brojevi su uzastopni, sva tri broja moraju biti pozitivna. Proizvod tri negativna broja bi bio negativan, a ako je jedan od njih nula, proizvod bi bio nula.

n−1>0  ⟹  n>1n-1 > 0 \implies n > 1

Da bismo našli ova tri broja, rastavićemo broj 504 504 na proste činioce (odredićemo njegovu kanonsku faktorizaciju). Prvo delimo sa 2: 2 :

504=2⋅252=22⋅126=23⋅63504 = 2 \cdot 252 = 2^2 \cdot 126 = 2^3 \cdot 63

Zatim broj 63 63 delimo sa 3: 3 :

23⋅63=23⋅3⋅21=23⋅32⋅72^3 \cdot 63 = 2^3 \cdot 3 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7

Sada imamo kanonsku faktorizaciju broja 504. 504 . Potrebno je da grupišemo ove proste činioce tako da dobijemo tri uzastopna prirodna broja.

504=23⋅32⋅7504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7

Jedan od prostih činilaca je 7. 7 . Preostali činioci su 23 2^3 i 32. 3^2 . Računamo njihove vrednosti kako bismo proverili da li su blizu broja 7: 7 :

23=8,32=92^3 = 8, \quad 3^2 = 9

Dobili smo brojeve 7, 7 , 8 8 i 9. 9 . Vidimo da su to zaista tri uzastopna cela broja. Proveravamo njihov proizvod:

7⋅8⋅9=56⋅9=5047 \cdot 8 \cdot 9 = 56 \cdot 9 = 504

Zaključujemo da su traženi uzastopni celi brojevi 7, 7 , 8 8 i 9. 9 .

n−1=7,n=8,n+1=9n-1 = 7, \quad n = 8, \quad n+1 = 9