3328.

122.v

TEKST ZADATKA

Koliko ima četvorocifrenih brojeva deljivih sa 5 ako se cifre: ne ponavljaju, a pretposlednja cifra je manja od poslednje?


REŠENJE ZADATKA

Neka je traženi četvorocifreni broj oblika abcd. \overline{abcd} . Pošto je broj deljiv sa 5, njegova poslednja cifra mora biti 0 ili 5. Takođe, prva cifra ne sme biti nula (a0 a \neq 0 ).

d{0,5}d \in \{0, 5\}

Razmotrimo uslov da je pretposlednja cifra manja od poslednje (c<d c < d ). Ako bi bilo d=0, d = 0 , moralo bi da važi c<0, c < 0 , što je nemoguće jer su cifre nenegativne. Dakle, poslednja cifra mora biti 5.

d=5d = 5

Pošto je d=5 d = 5 i c<d, c < d , za cifru c c dolaze u obzir vrednosti strogo manje od 5. Kako se cifre ne ponavljaju, moguće vrednosti za c c su 0, 1, 2, 3 ili 4.

c{0,1,2,3,4}c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}

Da bismo pravilno prebrojali mogućnosti za prvu cifru a a (koja ne sme biti 0), podelićemo problem na dva slučaja: kada je c=0 c = 0 i kada je c0. c \neq 0 .

**Prvi slučaj:** c=0 c = 0 i d=5. d = 5 . Cifre 0 i 5 su iskorišćene. Za cifru a a možemo izabrati bilo koju od preostalih 8 cifara (nula je već iskorišćena, pa nema opasnosti da a a bude nula). Za cifru b b ostaje 7 slobodnih cifara. Broj mogućnosti u ovom slučaju računamo kao:

1187=561 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 = 56

**Drugi slučaj:** c{1,2,3,4} c \in \{1, 2, 3, 4\} i d=5. d = 5 . Za cifru c c imamo 4 mogućnosti. Za cifru a a ne smemo koristiti 5, izabranu cifru c, c , kao ni 0, pa nam ostaje 7 mogućnosti. Za cifru b b ne smemo koristiti 5, c c i a, a , ali sada smemo koristiti 0, pa nam takođe ostaje 7 mogućnosti. Broj mogućnosti je:

477=1964 \cdot 7 \cdot 7 = 196

Ukupan broj ovakvih četvorocifrenih brojeva dobijamo sabiranjem rezultata iz oba slučaja.

56+196=25256 + 196 = 252