6608. Prizma, piramida i njihovi ravni preseci

Označimo kocku tako da je $ABCD$ donja osnova, a $A'B'C'D'$ gornja, pri čemu su $AA' ,$ $BB' ,$ $CC' ,$ $DD'$ bočne ivice.

Uočimo trougao $ABC' .$ Ivica $AB$ je upravna na ivici $BC$ (strana $ABCD$ je kvadrat) i na ivici $BB'$ (strana $ABB'A'$ je kvadrat). Košijeva teorema: ako prava $n$ prodire ravan $\pi$ u tački $P$ i upravna je na dvema raznim pravim te ravni kroz $P ,$ tada je $n\perp\pi .$ Prave $BC$ i $BB'$ su dve razne prave ravni $BCC'B'$ kroz tačku $B ,$ pa je $AB\perp(BCC'B') .$ Prava $BC'$ leži u toj ravni i prolazi kroz $B ,$ pa je $AB\perp BC' .$

\measuredangle ABC'=90^\circ

Dakle, trougao $ABC'$ je pravougli sa pravim uglom kod $B .$ Katete su ivica $AB=1$ i dijagonala kvadrata $BC' ,$ a hipotenuza je dijagonala kocke $AC' .$ Po Pitagorinoj teoremi:

BC'=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad AC'=\sqrt{AB^2+BC'^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt3

Traženo rastojanje je visina $h=BM$ ovog trougla iz temena pravog ugla na hipotenuzu $AC' .$ Površinu pravouglog trougla računamo na dva načina: kao polovinu proizvoda kateta i kao polovinu proizvoda hipotenuze i visine na nju:

\frac{AB\cdot BC'}{2}=\frac{AC'\cdot h}{2} \implies h=\frac{AB\cdot BC'}{AC'}=\frac{1\cdot\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}

Provera: površina trougla je $\frac{1\cdot\sqrt2}{2}\approx0{,}7071 ,$ a $\frac{\sqrt3\cdot0{,}8165}{2}\approx0{,}7071 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Teme $B$ je od dijagonale $AC'$ udaljeno $\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}\approx0{,}816 .$

Započni učenje

Privatni časovi

158

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci