4722. Površina mnogougla

Neka je $M$ sredina stranice $c ,$ pa je $CM=t_c=28 .$ Označimo $AM=BM=x ,$ tako da je $c=2x .$ Iz temena $C$ spustimo visinu $CH=h$ na pravu $AB ,$ a rastojanje između $H$ i $M$ označimo sa $y .$

AM=BM=x,\qquad CM=28,\qquad CH=h,\qquad HM=y

Primenjujemo Pitagorinu teoremu na pravougli trougao čija je hipotenuza težišna duž $CM=28 :$

h^2+y^2=28^2=784

Pošto je visina spuštena na stranicu $c ,$ ponovo primenjujemo Pitagorinu teoremu na dva pravougla trougla sa hipotenuzama $a=39$ i $b=25 :$

h^2+(x-y)^2=39^2,\qquad h^2+(x+y)^2=25^2

Saberemo ove dve jednačine. Pošto važi $h^2+y^2=784 ,$ dobijamo jednačinu samo sa $x :$

2h^2+(x-y)^2+(x+y)^2=39^2+25^2\implies2(h^2+y^2)+2x^2=2146

Uvrštavanjem $h^2+y^2=784$ određujemo polovinu stranice $c :$

2\cdot784+2x^2=2146\implies2x^2=578\implies x^2=289\implies x=17

Pošto je $M$ sredina stranice $c ,$ njena dužina je:

c=2x=2\cdot17=34

Da bismo izračunali visinu, oduzmemo dve Pitagorine jednačine. Tako određujemo $y :$

(x-y)^2-(x+y)^2=39^2-25^2\implies-4xy=896

Uvrštavanjem $x=17$ dobijamo apsolutnu vrednost dužine $HM :$

|y|=\frac{896}{4\cdot17}=\frac{224}{17}

Iz pravouglog trougla sa hipotenuzom $CM=28$ sada određujemo visinu $h :$

h^2=28^2-\left(\frac{224}{17}\right)^2=\frac{176400}{289}\implies h=\frac{420}{17}

Površinu trougla računamo kao polovinu proizvoda stranice $c$ i odgovarajuće visine $h :$

P=\frac{c\cdot h}{2}=\frac{34\cdot\frac{420}{17}}{2}=420

31