3536. Približne vrednosti realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Izračunati: 2) $xy$ ;

REŠENJE ZADATKA

Pošto konkretne vrednosti za brojeve $x$ i $y$ nisu zadate, prikazaćemo opšti postupak za računanje apsolutne i relativne greške proizvoda dva približna broja, na osnovu priloženog gradiva. Neka su $x'$ i $y'$ približne vrednosti tačnih brojeva $x$ i $y .$

Apsolutna greška približnog proizvoda $x'y'$ po definiciji iznosi:

\Delta(x'y') = |xy - x'y'|

Po definiciji apsolutne vrednosti, izraz za grešku proizvoda definišemo kao:

|xy - x'y'| = \begin{cases} xy - x'y', & \text{za } xy - x'y' \ge 0 \\ -(xy - x'y'), & \text{za } xy - x'y' < 0 \end{cases}

Takođe, za tačne vrednosti $x$ i $y$ koje će nam biti potrebne u daljem radu, apsolutne vrednosti definišemo kao:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

I na isti način za broj $y :$

|y| = \begin{cases} y, & \text{za } y \ge 0 \\ -y, & \text{za } y < 0 \end{cases}

Da bismo ocenili grešku, prvo računamo razliku tačnog i približnog proizvoda. Približne vrednosti možemo zapisati kao $x' = x - (x - x')$ i $y' = y - (y - y') .$ Zamenom u izraz za proizvod i množenjem dobijamo:

xy - x'y' = xy - (x - (x - x'))(y - (y - y')) = x(y - y') + y(x - x') - (x - x')(y - y')

Primenom osobina apsolutne vrednosti (nejednakost trougla) na ovu razliku, i zanemarivanjem proizvoda malih grešaka $(x - x')(y - y') ,$ dobijamo približnu ocenu apsolutne greške proizvoda:

\Delta(x'y') \approx |x|\cdot|y - y'| + |y|\cdot|x - x'| = |x|\Delta(y') + |y|\Delta(x')

Apsolutnu vrednost tačnog proizvoda definišemo kao:

|xy| = \begin{cases} xy, & \text{za } xy \ge 0 \\ -xy, & \text{za } xy < 0 \end{cases}

Relativna greška proizvoda $x'y'$ se dobija deljenjem apsolutne greške sa apsolutnom vrednošću tačnog proizvoda $|xy| :$

\delta(x'y') = \frac{\Delta(x'y')}{|xy|}

Zamenom približnog izraza za apsolutnu grešku u formulu za relativnu grešku dobijamo:

\delta(x'y') \approx \frac{|x|\Delta(y') + |y|\Delta(x')}{|x||y|}

Razdvajanjem na dva razlomka i skraćivanjem, dolazimo do konačne formule koja pokazuje da je relativna greška proizvoda približno jednaka zbiru relativnih grešaka činilaca:

\delta(x'y') \approx \frac{\Delta(x')}{|x|} + \frac{\Delta(y')}{|y|} = \delta(x') + \delta(y')

231.2