3539.

231.4

TEKST ZADATKA

Izračunati: 4) x/y. x/y .

REŠENJE ZADATKA

S obzirom na to da konkretne vrednosti nisu date, zadatak se svodi na određivanje formula za apsolutnu i relativnu grešku količnika dva približna broja x x i y. y .

Po definiciji apsolutne vrednosti, za broj x x važi:

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Za broj y y apsolutna vrednost je:

∣y∣={y,za y≥0−y,za y<0|y| = \begin{cases} y, & \text{za } y \ge 0 \\ -y, & \text{za } y < 0 \end{cases}

Za količnik xy \frac{x}{y} apsolutna vrednost se definiše kao:

∣xy∣={xy,za xy≥0−xy,za xy<0\left|\frac{x}{y}\right| = \begin{cases} \frac{x}{y}, & \text{za } \frac{x}{y} \ge 0 \\ -\frac{x}{y}, & \text{za } \frac{x}{y} < 0 \end{cases}

Relativna greška količnika dva broja približno je jednaka zbiru relativnih grešaka tih brojeva:

δ(xy)≈δ(x)+δ(y)\delta\left(\frac{x}{y}\right) \approx \delta(x) + \delta(y)

Koristeći definiciju relativne greške δ(x)=Δ(x)∣x∣, \delta(x) = \frac{\Delta(x)}{|x|} , izraz možemo zapisati kao:

δ(xy)=Δ(x)∣x∣+Δ(y)∣y∣\delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{\Delta(x)}{|x|} + \frac{\Delta(y)}{|y|}

Apsolutna greška količnika se računa množenjem relativne greške sa apsolutnom vrednošću samog količnika:

Δ(xy)=∣xy∣⋅δ(xy)\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \left|\frac{x}{y}\right| \cdot \delta\left(\frac{x}{y}\right)

Zamenom prethodno dobijenog izraza za relativnu grešku dobijamo:

Δ(xy)=∣x∣∣y∣⋅(Δ(x)∣x∣+Δ(y)∣y∣)\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{|x|}{|y|} \cdot \left( \frac{\Delta(x)}{|x|} + \frac{\Delta(y)}{|y|} \right)

Množenjem svakog člana u zagradi sa ∣x∣∣y∣ \frac{|x|}{|y|} računamo izraz za apsolutnu grešku:

Δ(xy)=Δ(x)∣y∣+∣x∣⋅Δ(y)∣y∣2\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{\Delta(x)}{|y|} + \frac{|x| \cdot \Delta(y)}{|y|^2}

Svođenjem na zajednički imenilac ∣y∣2=y2 |y|^2 = y^2 dobijamo konačan oblik formule za apsolutnu grešku količnika:

Δ(xy)=∣y∣⋅Δ(x)+∣x∣⋅Δ(y)y2\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{|y| \cdot \Delta(x) + |x| \cdot \Delta(y)}{y^2}