4000. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve $a ,$ $b$ i $c$ tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: $A(x) = 2x^3 - 9x^2 + 13x - 6$ i $B(x) = (x - 2)(ax^2 + bx + c)$ ;

REŠENJE ZADATKA

Da bi polinomi bili identički jednaki, moraju imati isti kanonski oblik. Prvo ćemo pomnožiti izraze u polinomu $B(x)$ kako bismo ga sveli na kanonski oblik.

B(x) = x(ax^2 + bx + c) - 2(ax^2 + bx + c)

Množenjem dobijamo:

B(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 2ax^2 - 2bx - 2c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive $x :$

B(x) = ax^3 + (b - 2a)x^2 + (c - 2b)x - 2c

Dva polinoma su identički jednaka ako su im koeficijenti uz odgovarajuće stepene jednaki. Izjednačavamo koeficijente polinoma $A(x) = 2x^3 - 9x^2 + 13x - 6$ i $B(x) .$

\begin{cases} a = 2 \\ b - 2a = -9 \\ c - 2b = 13 \\ -2c = -6 \end{cases}

Iz prve i četvrte jednačine odmah dobijamo vrednosti za $a$ i $c .$

a = 2, \quad c = \frac{-6}{-2} = 3

Zamenjujemo vrednost $a = 2$ u drugu jednačinu i računamo $b .$

b - 2 \cdot 2 = -9 \implies b - 4 = -9 \implies b = -5

Proveravamo dobijene vrednosti zamenom u treću jednačinu:

c - 2b = 3 - 2 \cdot (-5) = 3 + 10 = 13

Treća jednačina je zadovoljena, pa su traženi realni brojevi:

a = 2, \quad b = -5, \quad c = 3

605.b