3990. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve $a ,$ $b$ i $c$ tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: $A(x) = x + 5$ i $B(x) = a(x - 2)(x - 3) + b(x - 1)(x - 3) + c(x - 1)(x - 2)$ ;

REŠENJE ZADATKA

Da bi polinomi bili identički jednaki, moraju imati identične kanonske oblike. Prvo ćemo polinom $B(x)$ svesti na kanonski oblik množenjem zagrada.

B(x) = a(x^2 - 3x - 2x + 6) + b(x^2 - 3x - x + 3) + c(x^2 - 2x - x + 2)

Sređujemo izraze unutar zagrada.

B(x) = a(x^2 - 5x + 6) + b(x^2 - 4x + 3) + c(x^2 - 3x + 2)

Množimo svaki član u zagradama odgovarajućim koeficijentima $a ,$ $b$ i $c .$

B(x) = ax^2 - 5ax + 6a + bx^2 - 4bx + 3b + cx^2 - 3cx + 2c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive $x$ kako bismo dobili kanonski oblik polinoma.

B(x) = (a + b + c)x^2 + (-5a - 4b - 3c)x + (6a + 3b + 2c)

Polinom $A(x)$ možemo zapisati u obliku polinoma drugog stepena dodavanjem člana sa $x^2$ koji ima koeficijent nula.

A(x) = 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 5

Dva polinoma su jednaka ako su im odgovarajući koeficijenti uz iste stepene jednaki. Izjednačavamo koeficijente polinoma $A(x)$ i $B(x) .$

\begin{cases} a + b + c = 0 \\ -5a - 4b - 3c = 1 \\ 6a + 3b + 2c = 5 \end{cases}

Rešavamo dobijeni sistem linearnih jednačina. Iz prve jednačine izražavamo $c .$

c = -a - b

Zamenjujemo $c$ u drugu i treću jednačinu.

\begin{cases} -5a - 4b - 3(-a - b) = 1 \\ 6a + 3b + 2(-a - b) = 5 \end{cases}

Sređujemo ove dve jednačine.

\begin{cases} -5a - 4b + 3a + 3b = 1 \\ 6a + 3b - 2a - 2b = 5 \end{cases}

Dobijamo uprošćen sistem od dve jednačine sa dve nepoznate.

\begin{cases} -2a - b = 1 \\ 4a + b = 5 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine eliminišemo nepoznatu $b .$

(-2a - b) + (4a + b) = 1 + 5 \implies 2a = 6

Računamo vrednost nepoznate $a .$

a = 3

Zamenjujemo vrednost $a$ u jednačinu $4a + b = 5$ kako bismo izračunali $b .$

4 \cdot 3 + b = 5 \implies 12 + b = 5 \implies b = -7

Na kraju, računamo vrednost $c$ koristeći izraz $c = -a - b .$

c = -3 - (-7) = -3 + 7 = 4

Dobili smo tražene vrednosti realnih brojeva $a ,$ $b$ i $c .$

a = 3, \quad b = -7, \quad c = 4

605.d