3998. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve $a ,$ $b$ i $c$ tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: $A(x) = 12x^3 - 40x^2 + 27x - 5$ i $B(x) = (3x - 1)(ax^2 + bx + c)$ ;

REŠENJE ZADATKA

Dva polinoma su identički jednaka ako imaju jednake stepene i ako su im koeficijenti uz odgovarajuće stepene jednaki. Prvo ćemo pomnožiti izraze u polinomu $B(x)$ kako bismo ga sveli na kanonski oblik.

B(x) = (3x - 1)(ax^2 + bx + c)

Množimo svaki član prve zagrade sa svakim članom druge zagrade.

B(x) = 3x \cdot ax^2 + 3x \cdot bx + 3x \cdot c - 1 \cdot ax^2 - 1 \cdot bx - 1 \cdot c

Sređujemo dobijeni izraz.

B(x) = 3ax^3 + 3bx^2 + 3cx - ax^2 - bx - c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive $x .$

B(x) = 3ax^3 + (3b - a)x^2 + (3c - b)x - c

Sada upoređujemo koeficijente polinoma $A(x)$ i $B(x)$ uz odgovarajuće stepene promenljive $x .$

\begin{aligned} A(x) &= 12x^3 - 40x^2 + 27x - 5 \\ B(x) &= 3ax^3 + (3b - a)x^2 + (3c - b)x - c \end{aligned}

Formiramo sistem jednačina izjednačavanjem koeficijenata uz $x^3 ,$ $x^2 ,$ $x$ i slobodnih članova.

\begin{cases} 3a = 12 \\ 3b - a = -40 \\ 3c - b = 27 \\ -c = -5 \end{cases}

Iz prve jednačine računamo vrednost za $a .$

a = \frac{12}{3} = 4

Iz četvrte jednačine računamo vrednost za $c .$

c = 5

Zamenjujemo vrednost $a = 4$ u drugu jednačinu kako bismo izračunali $b .$

\begin{aligned} 3b - 4 &= -40 \\ 3b &= -36 \\ b &= -12 \end{aligned}

Proveravamo dobijene vrednosti zamenom $b = -12$ i $c = 5$ u treću jednačinu.

\begin{aligned} 3 \cdot 5 - (-12) &= 27 \\ 15 + 12 &= 27 \\ 27 &= 27 \end{aligned}

Pošto je jednakost tačna, traženi realni brojevi su:

a = 4, \quad b = -12, \quad c = 5

605.v