Bezuova teorema: polinom x na 3 + 9x na 2 + 23x + 15

Da bismo našli celobrojne nule polinoma, tražimo ih među deliocima slobodnog člana. Slobodan član je $15 ,$ pa su mogući delioci:

\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15

Proveravamo da li je $x = -1$ nula polinoma računajući vrednost $p(-1) :$

p(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15

Računamo vrednost izraza:

p(-1) = -1 + 9 - 23 + 15 = 0

Pošto je $p(-1) = 0 ,$ na osnovu Bezuove teoreme zaključujemo da je polinom $p(x)$ deljiv sa $x - (-1) ,$ odnosno sa $x + 1 .$

Delimo polinom $p(x)$ sa $x + 1 :$

(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) : (x + 1) = x^2 + 8x + 15

Sada početni polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x) = (x + 1)(x^2 + 8x + 15)

Dalje treba rastaviti kvadratni trinom $x^2 + 8x + 15 .$ Ponovo možemo koristiti Bezuovu teoremu. Tražimo nule među deliocima broja $15 .$ Proveravamo $x = -3 :$

(-3)^2 + 8(-3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0

Pošto je vrednost nula, kvadratni trinom je deljiv sa $x - (-3) ,$ odnosno sa $x + 3 .$ Deljenjem dobijamo:

(x^2 + 8x + 15) : (x + 3) = x + 5

Zamenom dobijenih činilaca, konačan oblik polinoma rastavljenog na činioce je:

p(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)

Započni učenje

Online časovi

607.a

Beleške