3996.

607.b

TEKST ZADATKA

Koristeći Bezuovu teoremu, rastaviti na činioce polinom:

p(x)=x4−2x3−3x2+4x+4p(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4
REŠENJE ZADATKA

Prema posledici Bezuove teoreme, ako je p(a)=0, p(a) = 0 , polinom je deljiv sa x−a. x - a . Cele nule polinoma sa celobrojnim koeficijentima tražimo među deliocima slobodnog člana. Slobodan član našeg polinoma je 4. 4 .

a0=4a_0 = 4

Delioci broja 4 4 su:

±1,±2,±4\pm 1, \pm 2, \pm 4

Proveravamo vrednost polinoma za x=1: x = 1 :

p(1)=14−2⋅13−3⋅12+4⋅1+4=1−2−3+4+4=4≠0p(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 4 = 1 - 2 - 3 + 4 + 4 = 4 \neq 0

Pošto 1 1 nije nula polinoma, proveravamo sledeći delilac, x=−1: x = -1 :

p(−1)=(−1)4−2(−1)3−3(−1)2+4(−1)+4=1+2−3−4+4=0p(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1) + 4 = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0

Kako je p(−1)=0, p(-1) = 0 , po Bezuovoj teoremi polinom p(x) p(x) je deljiv sa x−(−1), x - (-1) , odnosno sa x+1. x + 1 . Delimo polinom p(x) p(x) binomom x+1: x + 1 :

(x4−2x3−3x2+4x+4):(x+1)=x3−3x2+4(x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4) : (x + 1) = x^3 - 3x^2 + 4

Sada početni polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x)=(x+1)(x3−3x2+4)p(x) = (x + 1)(x^3 - 3x^2 + 4)

Dalje rastavljamo dobijeni polinom trećeg stepena. Obeležimo ga sa q(x)=x3−3x2+4. q(x) = x^3 - 3x^2 + 4 . Njegov slobodan član je takođe 4. 4 . Proveravamo da li je x=−1 x = -1 ponovo nula ovog polinoma:

q(−1)=(−1)3−3(−1)2+4=−1−3+4=0q(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0

Pošto je q(−1)=0, q(-1) = 0 , polinom q(x) q(x) je takođe deljiv sa x+1. x + 1 . Računamo količnik:

(x3−3x2+4):(x+1)=x2−4x+4(x^3 - 3x^2 + 4) : (x + 1) = x^2 - 4x + 4

Zamenjujemo dobijeni rezultat u izraz za p(x): p(x) :

p(x)=(x+1)(x+1)(x2−4x+4)=(x+1)2(x2−4x+4)p(x) = (x + 1)(x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)^2(x^2 - 4x + 4)

Preostali kvadratni trinom x2−4x+4 x^2 - 4x + 4 prepoznajemo kao kvadrat binoma:

x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

Konačan oblik rastavljenog polinoma je:

p(x)=(x+1)2(x−2)2p(x) = (x + 1)^2(x - 2)^2