Bezuova teorema: polinom x na 4 − 2x na 3 − 3x na 2

Prema posledici Bezuove teoreme, ako je $p(a) = 0 ,$ polinom je deljiv sa $x - a .$ Cele nule polinoma sa celobrojnim koeficijentima tražimo među deliocima slobodnog člana. Slobodan član našeg polinoma je $4 .$

a_0 = 4

Delioci broja $4$ su:

\pm 1, \pm 2, \pm 4

Proveravamo vrednost polinoma za $x = 1 :$

p(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 4 = 1 - 2 - 3 + 4 + 4 = 4 \neq 0

Pošto $1$ nije nula polinoma, proveravamo sledeći delilac, $x = -1 :$

p(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1) + 4 = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0

Kako je $p(-1) = 0 ,$ po Bezuovoj teoremi polinom $p(x)$ je deljiv sa $x - (-1) ,$ odnosno sa $x + 1 .$ Delimo polinom $p(x)$ binomom $x + 1 :$

(x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4) : (x + 1) = x^3 - 3x^2 + 4

Sada početni polinom možemo zapisati u obliku proizvoda:

p(x) = (x + 1)(x^3 - 3x^2 + 4)

Dalje rastavljamo dobijeni polinom trećeg stepena. Obeležimo ga sa $q(x) = x^3 - 3x^2 + 4 .$ Njegov slobodan član je takođe $4 .$ Proveravamo da li je $x = -1$ ponovo nula ovog polinoma:

q(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0

Pošto je $q(-1) = 0 ,$ polinom $q(x)$ je takođe deljiv sa $x + 1 .$ Računamo količnik:

(x^3 - 3x^2 + 4) : (x + 1) = x^2 - 4x + 4

Zamenjujemo dobijeni rezultat u izraz za $p(x) :$

p(x) = (x + 1)(x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)^2(x^2 - 4x + 4)

Preostali kvadratni trinom $x^2 - 4x + 4$ prepoznajemo kao kvadrat binoma:

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

Konačan oblik rastavljenog polinoma je:

p(x) = (x + 1)^2(x - 2)^2

Započni učenje

Online časovi

607.b

Beleške